C++ 处理非常大的整数

Posted 2023-02-25

【中文标题】C++ 处理非常大的整数

【英文标题】：C++ handling very large integers

【发布时间】：2010-09-12 13:35:01

【问题描述】：

我正在使用 RSA 算法进行加密/解密，为了解密文件，您必须处理一些相当大的值。更具体地说，像

P = C^d % n
  = 62^65 % 133

现在这确实是唯一不合适的计算。我曾尝试使用 Matt McCutchen 的 BigInteger 库，但在链接过程中出现很多编译器错误，例如：

encryption.o(.text+0x187):encryption.cpp: undefined reference to `BigInteger::BigInteger(int)'

encryption.o(.text+0x302):encryption.cpp: undefined reference to `operator<<(std::ostream&, BigInteger const&)'

encryption.o(.text$_ZNK10BigIntegermlERKS_[BigInteger::operator*(BigInteger const&) const]+0x63):encryption.cpp: undefined reference to `BigInteger::multiply(BigInteger const&, BigInteger const&)'

所以我想知道处理来自 RSA 算法的真正大整数的最佳方法是什么。

我听说有可能将你的变量声明为双长，所以...

long long decryptedCharacter;

但我不确定可以存储多大的整数。

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例如，我尝试使用 dev C++ 编译并运行以下程序：

#include iostream

#include "bigint\BigIntegerLibrary.hh"

using namespace std;

int main()

    BigInteger a = 65536;
    cout << (a * a * a * a * a * a * a * a);
    return 0;

然后我得到这些错误。

Derek，我认为通过包含 BigIntegerLibrary.hh 文件，编译器会遍历并编译它将使用的所有必要文件。

我应该如何尝试编译上述程序以解决链接错误？

【问题讨论】：

Meta-answer：如果您使用的是 bigint 算法的库，那么问问自己为什么不使用整个 RSA 实现的库。例如，gnu.org/software/gnu-crypto 包含一个 RSA 实现。它与GMP具有相同的许可证。但是，它们没有与mattmccutchen.net/bigint 相同的许可证，在我看来，它已被置于美国的公共领域。

如果可能的话，除了娱乐或学习之外，永远不要编写自己的加密程序。有很多不明显的事情你可能会出错。

要计算 A^B mod C，不需要做真正的幂，使用modular exponentiation。这里有很多关于这个的问题：***.com/questions/8496182/…***.com/questions/8287144/…

***.com/questions/2207006/…

【参考方案1】：

long int 通常是 64 位，这可能不足以处理这么大的整数。您可能需要某种 bigint 库。

另请参阅 Stack Overflow 上的 this question

【参考方案2】：

要查看 long long 的大小，试试这个：

#include <stdio.h>

int main(void) 
    printf("%d\n", sizeof(long long));

    return 0;

在我的机器上它返回 8，这意味着 8 个字节可以存储 2^64 个值。

【参考方案3】：

查看您的编译器文档。一些编译器定义了诸如 __int64 之类的类型，这些类型为您提供了它们的大小。也许你有一些可用的。

【参考方案4】：

请注意：__int64 和 long long 是非标准扩展。不能保证所有 C++ 编译器都支持这两者。 C++是基于C89（98年出来的，所以不能基于C99）

（自 C99 起，C 就支持 'long long'）

顺便说一句，我认为 64 位整数不能解决这个问题。

【讨论】：

C++ 实际上可以追溯到 80 年代初，尽管您说得对，当前的标准早于 C99。

这在技术上是正确的，尽管与手头的情况有些无关。 OTOH，这个问题特别提到了“long long”，所以我不知道downvote来自哪里。 +1 抵消。 PS @CaptainSegfault C++ 在 98 年首次标准化，该标准基于 1990 年的 ISO C 标准（即 C89）。

【参考方案5】：

我会试用 GMP 库 - 它功能强大、经过良好测试，并且通常用于此类代码。

【参考方案6】：

我建议使用gmp，它可以处理任意长的整数，并且具有不错的 C++ 绑定。

当前硬件/软件上的 afaik long long 是 64 位的，因此 unsigned 可以处理高达 (2**64)-1 == 18446744073709551615 的数字，这比您必须处理 RSA 的数字小得多。

【讨论】：

64 位数字对于 RSA 安全要求来说是微不足道的。最低 1024bit，推荐 2048bit 和 4096。

【参考方案7】：

对于 RSA，您需要一个 bignum 库。这些数字太大了，无法容纳 64 位长。我曾经有一个大学同事，他接到了一个实施 RSA 的任务，包括建立他自己的 bignum 库。

碰巧的是，Python 有一个 bignum 库。编写 bignum 处理程序小到足以适合计算机科学任务，但仍然有足够的陷阱使其成为一项不平凡的任务。他的解决方案是使用 Python 库生成测试数据来验证他的 bignum 库。

您应该可以获取其他 bignum 库。

或者，尝试在 Python 中实现一个原型，看看它是否足够快。

【参考方案8】：

事实上，您在使用某些 biginteger 库时遇到问题并不意味着这是一种不好的方法。

使用 long long 绝对是一种不好的方法。

正如其他人所说，已经使用 biginteger 库可能是一种好方法，但您必须发布更多关于您如何使用提到的库的详细信息，以便我们能够帮助您解决这些错误。

【参考方案9】：

Tomek，听起来您没有正确链接到 BigInteger 代码。我认为你应该解决这个问题而不是寻找一个新的图书馆。我看了一下源代码，BigInteger::BigInteger(int) 是最明确的定义。简单的一瞥表明其他人也是如此。

您遇到的链接错误意味着您要么忽略了编译 BigInteger 源代码，要么在链接时忽略了包含生成的目标文件。请注意，BigInteger 源使用“cc”扩展名而不是“cpp”，因此请确保您也在编译这些文件。

【参考方案10】：

如果您没有将 RSA 用作学校作业或其他东西，那么我建议您查看 crypto++ 库 http://www.cryptopp.com

糟糕地实现加密技术就是这么容易。

【参考方案11】：

使用LibTomCrypt 库满足我的加密需求，我取得了很大的成功。它快速、精简且便携。它可以为你做你的 RSA，或者如果你想只处理数学。

【参考方案12】：

Openssl 还有一个Bignum 可以使用。我已经使用它并且效果很好。如果需要，可以轻松地用 C++ 或 Objective-C 等 oo 语言进行封装。

https://www.openssl.org/docs/crypto/bn.html

另外，如果您不知道，要找到 x^y % z 形式的方程的答案，请查找一种称为模幂运算的算法。大多数加密或 bignum 库都有专门用于此计算的函数。

【参考方案13】：

我在编写 RSA 实现时使用了 GMP。

【参考方案14】：

这是我的方法，它结合了使用平方和模幂的快速求幂，从而减少了所需的空间。

long long mod_exp (long long n, long long e, long long mod)

  if(e == 1)
  
       return (n % mod);
  
  else
  
      if((e % 2) == 1)
      
          long long temp = mod_exp(n, (e-1)/2, mod);
          return ((n * temp * temp) % mod);
      
      else
      
          long long temp = mod_exp(n, e/2, mod);
          return ((temp*temp) % mod); 
      
  

【参考方案15】：

要确保 RSA 实施的安全，不仅仅是大数字。一个简单的 RSA 实现往往会通过侧通道泄漏私人信息，尤其是时间（简单来说：计算时间取决于处理的数据，这允许攻击者恢复一些，可能是全部的私钥位）。良好的 RSA 实施会实施对策。

此外，除了模幂运算之外，还有整个填充业务，这在概念上并不难，但与所有 I/O 和解析代码一样，存在细微错误的空间。最容易写的代码是别人已经写过的代码。

另一点是，一旦您的 RSA 代码启动并运行，您可能会开始设想扩展和其他情况，例如“如果我要使用的私钥不在 RAM 中而是在智能卡中怎么办？”。一些现有的 RSA 实现实际上是可以处理的 API。在 Microsoft 世界中，您想要查找集成在 Windows 中的 CryptoAPI。您可能还想查看NSS，这是 Firefox 浏览器用于 SSL 的。

总结一下：您可以从大整数构建符合 RSA 的实现，但这比通常看起来更难以正确执行，所以我的建议是使用现有的 RSA实施。