亚线性但简单的动态凸壳算法？

Posted 2023-02-14

【中文标题】亚线性但简单的动态凸壳算法？

【英文标题】：Sublinear but simple Dynamic Convex Hull algorithm?

【发布时间】：2012-03-13 16:32:26

【问题描述】：

我需要解决动态凸包算法问题，即维护2D点的凸包，我可以在其中添加和删除点。

幼稚的做法显然是O(N)；每当添加/删除N 点之一时，我们都会从头开始重新计算凸包。但是，我负担不起线性时间，所以我正在寻找一种次线性算法。到目前为止，我找到了一堆论文，所有这些论文都描述了一些具有疯狂时间界限的复杂算法，这些算法需要很长时间才能实现。即使是最古老的高效算法，由于 Overmars 和 Leeuween，O(log^2 N) 似乎也太复杂了。 （像往常一样，此类论文中描述的大多数算法在结构/算法方面与其他参考论文有大量依赖关系）

我正在寻找更简单但不一定新颖的东西，它在最坏的情况下比线性表现更好（例如O(sqrt N)）。最后，我不介意时间是否摊销。有什么想法吗？

（简单来说，我主要是指不需要超过几百行代码的东西。）

【问题讨论】：

我不会说线性复杂度解决方案是幼稚的，因为在线性时间内找到 N 个点的凸包是幼稚的。事实上，我不知道这种算法可以在线性时间内解决单个集合的问题。

izo 是正确的：有一个 Omega(n log n) 下限（在最常见的计算模型下）。

O(N)，我的意思是每次操作的成本。天真的方法是在每个步骤中（在每次删除/插入之后）保持点的排序并在O(N) 中进行格雷厄姆扫描。

【参考方案1】：

我认为你所寻求的并不存在。 Overmars 和 vanLeeuwen 算法并没有那么复杂，在某种意义上它似乎是必要的。首先，将问题改为分别维护上船体和下船体。其次，通过分而治之的方式构造每个，但保留中间树结构，以便您知道 1/2-sets、1/4-sets 等的外壳。现在，当您删除一个点时，您仅重新计算其在树中的祖先。当您添加一个点时，您会发现它连接到哪个叶子，并再次向上重新计算到根。

我认为如果你忽略他们论文中的细节，只是按照这个高级草图，以最无脑的方式实现所有步骤，它不会很复杂，而且会是次线性的。

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M. H. Overmars 和 J. van Leeuwen。 维护飞机中的配置。 J。计算。系统。科学。，23:166-204，1981。

【讨论】：

此外，除了您的回答之外，在许多情况下，理解论文的细节比实施它们更难。

【参考方案2】：

我假设总共有 N 个数据点，复杂的外壳由 M 个点定义。

维护一个 Convex Hull 应该比一开始就建造它更容易（而且成本更低）。

删除现有数据点

1/ If the data point in not one of the M points defining the convex hull then it won’t affect the hull so just remove it.

2/ If it is part of the convex hull then you need to adjust the hull – more on that below in point 4

添加新数据点。

3/ If a data point is inside the complex hull then it will not affect the hull. 

这是一个简单的方法来测试这一点。创建船体内部的三角剖分。使用 M 个点定义的复杂船体可以三角剖分为 M-2 个三角形。然后测试该点是否位于其中一个三角形中。

4/ if a data point is outside the hull then it will become part of the hull. However, it is only affecting a local area of the hull and it is straightforward to find the new hull in a few steps. If you have already build the hull then it should be clear to you how to adjust a local part of it.

我看不出这种维护怎么可能是 O(N)

【讨论】：

观察到移除会导致船体上的O(N) 点从船体上移除。插入也是如此，这会导致O(N) 新点成为外壳的一部分。

【参考方案3】：

关于 O'Rourke 教授，他对计算几何的了解比我以往任何时候都多，我不明白 OvL 的“无意识”实现（即缺乏再平衡）如何可能是亚线性的 在最坏的情况下。

幸运的是，自 1981 年以来，我们在数据结构方面取得了一些进展。特别是，由于摊销保证就足够了，splay 树 (1985) 适用于存储凸包和合并树。 Austern et al. (2003) 提出了一种很好的方法，可以将需要的额外字段的维护与复杂的平衡操作分开，这样您就可以编写一次棘手的部分。

实现伸展树的主要困难是伸展操作，甚至比插入红黑树要简单得多。一旦展开工作，展开树很容易分裂和加入。要拆分，请张开要拆分的节点并剪切其右子节点。要加入，请展开第一棵树的最右边节点，并使第二棵树成为该节点的右子节点。

【讨论】：

那么，您是说整个算法中唯一棘手的部分是实现 splay 树？

是的，我的立场是正确的：重新平衡是必要的，否则错误的序列会将树变成路径。仍然可以将重新平衡推迟到需要时，但也可以使用，如您所说，展开树。