找到包含所有矩形的最小区域

Posted 2023-02-14

【中文标题】找到包含所有矩形的最小区域

【英文标题】：find smallest area that contains all the rectangles

【发布时间】：2012-09-09 10:35:07

【问题描述】：

这是一道面试题。 我们得到了各种矩形的尺寸，我们必须找出可以包围所有矩形的面积（最小）？矩形也可以旋转。

test case:-
input:
3   //number of rectangles
8 8
4 3
3 4

output:
88

11x8:
+ - - - - - - + + - +
|             | |   |
|             | |   |
|             | + - +
|             | + - +
|             | |   |
|             | |   |
+ - - - - - - + + - +

我查看了fitting rectangles in the smallest possible area 之前提出的类似问题 上述方法着眼于所有可能性、旋转，并确定所有布局情况下所有此类可能性的最小值。 难道我们不能建立一个算法，首先找到矩形面积的总和，然后寻找最大长度，宽度？

【参考方案1】：

这个问题没有绝对的解决方案，但是有几个近似的解决方案，你可以阅读其中的一些here。

【讨论】：

附注如果你在面试中被问到这个问题，很可能你并不希望你解决这个问题，他们只是想看看你如何解决问题。

"这个问题没有绝对的解决办法" - ???我认为您的意思是，对于大输入（很多矩形），您需要启发式方法，因为详尽的搜索需要太多时间。

@KarolyHorvath 好吧，是的，显然总是有蛮力。我的意思是，没有一种算法具有合理的渐近运行时间，可以给出明确的绝对最小值

【参考方案2】：

Optimal Rectangle Packing on Non-Square Benchmarks:

给定一组矩形，我们的问题是找到所有封闭的 最小面积的矩形，将包含它们而不重叠。我们 将封闭矩形称为边界框。优化 问题是NP-hard，而决定一组是否 NP-complete 的矩形可以包装在给定的边界框中，通过 减少装箱（Korf 2003）。

New Improvements in Optimal Rectangle Packing:

Korf [2003] 将矩形包装问题分为两个 子问题：最小边界框问题和包含问题 问题。前者找到一个面积最小的边界框， 包含一组给定的矩形，而后者试图打包 给定边界框中的给定矩形。解决的算法 最小边界框问题调用解决 包含问题作为子程序。

最小边界框问题

解决最小边界框问题的一个简单方法是找到 描述一组可行和最大区域的最小和最大区域 潜在的最佳边界框。所有维度的边界框 可以用这个范围内的区域生成，然后在 面积的非递减顺序，直到所有最小的可行解 区域被发现。最小面积是给定的面积之和 矩形。最大面积由边界框决定 通过将边界框高度设置为 最高的矩形，然后将矩形放在第一个 从左到右扫描时的可用位置，并且对于每个 列从下到上扫描。

另见Optimal Rectangle Packing: New Results。

【参考方案3】：

首先你应该检查，是否可以旋转封闭矩形？ 无论如何，您可以忽略“矩形”条件并以点为单位解决任务。 你有点数组（它们是矩形的顶点）。你的任务是找到面积最小的封闭矩形。 如果封闭矩形无法旋转，则解决方案很愚蠢，复杂度为 O(n)。

生成矩形数组并制作点数组，这些点是矩形的顶点。 接下来很简单：

long n; // Number of vertexes
point arr[SIZE]; //Array of vertexes
long minX = MAXNUMBER, minY = MAXNUMBER, maxX = -MAXNUMER, maxY = -MAXNUMBER;
for (long i = 0; i < 4 * n; i++)

    minX = MIN(minX, arr[i].x);
    minY = MIN(minY, arr[i].y);
    maxX = MIN(maxX, arr[i].x);
    maxY = MIN(maxY, arr[i].y);

long width = maxX - minX, height = maxY - minY;
printf("%ddX%ld", width, height);

如果矩形可以旋转，则为另一个任务。那么你应该首先：

构建矩形中所有点的最小凸多边形。你可以 使用任何现有的算法。复杂度 O(n log n)。例如“格雷厄姆的扫描”：http://en.wikipedia.org/wiki/Graham%27s_scan 对凸多边形使用简单算法。链接：http://cgm.cs.mcgill.ca/~orm/maer.html

您在 wiki 中的任务链接：http://en.wikipedia.org/wiki/Minimum_bounding_rectangle

【讨论】：

：感谢您的解决方案。你能解释一下如何表达输入点（矩形）来制作一个凸多边形吗？我知道如何从凸多边形中找到最小面积包围矩形。

有多个算法。例如 Graham 的扫描：en.wikipedia.org/wiki/Graham%27s_scan。或 QuickHull：algolist.ru/maths/geom/convhull/qhull3d.php.

查看输入数据，您似乎误解了问题所在。问题不在于为位于二维空间中的一组给定矩形找到最小封闭矩形，而是如何在最小矩形内打包一组已知大小的矩形。