寻找总和最大的子矩阵[重复]

Posted 2023-02-22

【中文标题】寻找总和最大的子矩阵[重复]

【英文标题】：Finding a submatrix with largest sum [duplicate]

【发布时间】：2011-03-23 08:13:21

【问题描述】：

可能重复：Finding a submatrix with the maximum possible sum in O(n^2)

我有一个 NxN 矩阵。我想在上面的矩阵中找出一个 MxM 子矩阵，它的元素之和最大。

什么是有效的算法。

【问题讨论】：

这不一定是重复的。重要的区别在于，在这个更简单的情况下，原始矩阵是正方形的，并且要找到的矩阵的大小是预先知道的（除非 M 在开始时是未知的，在这种情况下它们会非常相似）这意味着你只需要找到位置，而不是内部矩阵的形状，简化了问题。有了这些限制，这可以在二次时间内解决（见下面的答案），而标记为重复的问题不能在小于三次的时间内解决。

【参考方案1】：

我有一个算法，在扩大 M 时以常数时间运行，在扩大 N 时以二次时间运行。

第一个子矩阵照常计数。保存总和。然后向右移动一个行字段 - 两个 MxM 矩阵重叠，因此您只需将两个不重叠的列相加即可。保存所有金额。现在您可以为该行选择最大的总和。

移到下一行。还记得保存的金额吗？第一行和第二行的 MxM 矩阵再次重叠，因此您只需将 MxM 矩阵的第一行和最后一行相加，然后在第二行计算第一个和。

现在转到第二行的第二个总和。和上面做同样的事情，但是你发现第一个 sum 的最后几行和第二行的第二个 sum 又重叠了。

我知道这有点令人困惑，如果你不明白，请告诉我，我会画一些图。该算法基于this answer中的论文。

编辑：我知道我答应了图片，但这应该足够了：

A AB AB AB AB B AC ABCD ABCD ABCD ABCD BD AC ABCD ABCD ABCD ABCD BD AC ABCD ABCD ABCD ABCD BD AC ABCD ABCD ABCD ABCD BD C CD CD CD CD D

这是四个子模块，A、B、C、D，定位如下：

AB
光盘

首先计算 A 子矩阵的总和：sum(A)。这里没有优化。现在你要计算 B 的总和：sum(B)。您可以执行与 A 相同的操作，但请注意 A 和 B 重叠。因此，您将 sum(A) 分配给 sum(B)，计算垂直向量的总和 A AC AC AC AC 并从 sum(B) 中减去 if，然后计算垂直向量的总和 B BD BD BD BD 并将其添加到 sum(B)。

sum(B) = sum(A) - sum(A AC AC AC AC) + sum(B BD BD BD BD)

你有 sum(B)。现在您可以继续并计算整个第一行子主题。

移动到第二行：matices C 和 D。你不必对整个 matice C 求和，因为在上一行中，你保存了 sum(A)。请注意它们再次重叠。你只需要添加A和C的区别：

//代码(1)
subC = sum([A AB AB AB AB]) //作为减法 C
addC = sum([C CD CD CD CD]) //as add C
sum(C) = sum(A) - subC + addC

你有 sum(C)。现在你可以像这样得到 sum(D)：

//代码(2)
subD = sum([AB AB AB AB B]) //作为减法 D
addD = sum([CD CD CD CD D]) //as add D
sum(D) = sum(B) - subD + addD

但是比较 subD 与 subC 和 addD 与 addC。它们重叠！所以你可以这样做：

//代码(3)
subD = subC - A + B //从 subC 中减去 A 上的值并将 B 添加到它
addD = addC - C + D //同上
sum(D) = sum(B) - subD + addD

您会看到，计算一个子矩阵的总和而不是 25 个附加项，而是 6 个。对于每个可能的 MxM 大小，我们对第一个子矩阵有 MxM 个附加项，对于第一行和第一列有 M*2+2 个附加项，并且其余6个。

【讨论】：

是的，正如你所说，我觉得这很混乱..

(N - M + 1) * (N - M + 1) 不是线性的...

最坏的情况是M=1和N—>∞。在这种情况下，您将不得不比较 NxN 个元素，并且您可以想象的最佳算法只能读取每个元素一次。这意味着复杂度在 N 中不是线性的，而是二次的。您所描述的是通用算法的加速，它将从 N^2*M^2 （即对于每个 (N-M)^2 平方和内部矩阵的 (M^2) 元素）降低到 N^ 2（外矩阵中的每个元素只计入行列外的固定数量的内矩阵）。

修复了线性时间问题。电脑一开机，我就明白了。今天将发布图片。

@Ben Voigt：我已投票重新提出问题，请考虑上面的评论，您可能希望将投票更改为关闭。