直线与矩形相交的特例

Posted 2023-02-22

【中文标题】直线与矩形相交的特例

【英文标题】：A special case of intersection of line and rectrangle

【发布时间】：2019-07-23 13:32:00

【问题描述】：

如何检查一条线是否与矩形相交经常被问到，例如How to know if a line intersects a rectangle。解决方案的基本思想是检查是否

矩形的四个线段中的任何一个都与这条线相交 这个矩形包含这条线的起点和终点

但是这种方法无法处理特殊情况，这种情况在我的应用程序中不应被视为交集：

在这里，线通过角点，而整个 MBR 位于该线的一侧。那么，如何检查这种特殊情况呢？

【问题讨论】：

你不告诉我们这是否被认为是一个交叉路口。

这种情况不被视为交集@YvesDaoust

所以似乎足以将比较r < 0 和类似的更改为r<=0 等等以排除侧端。

【参考方案1】：

我设计了一个可行的解决方案来检查这种特殊情况。当整个 MBR 位于线的一侧时，会发生这种特殊情况。

我们需要一个辅助方法来获取一个点的位置：

# p is the query point, (a, b) is the line
def position(p, a, b):
    return np.sign((b.x - a.x) * (p.y - a.y) - (p.x - a.x) * (b.y - a.y))

然后我们得到四个角的所有位置：

# left_bottom ... are corners
# (start, end) is the line
f = lambda m: position(m, start, end)
vf = np.vectorize(f)
positions = vf(np.array([left_bottom, right_bottom, left_top, right_top]))

特殊情况发生在位置之一等于0，并且所有位置都为-1或1时：

if len(np.where(positions == 0)) == 1 and abs(np.sum(positions)) == 3:
    return False

【参考方案2】：

如果坐标表示为浮点实数，由于截断错误，线段在拐角处的精确重合很少且有些随机。人们可能想知道，担心这些“极端情况”有什么好处。

根据应用程序，处理退化的交叉点（即单点而不是线段）可能更尴尬而不是有用。

需要更多上下文才能以有意义的方式回答您的问题。

【参考方案3】：

为方便起见，我们假设表示为OP 的段从原点开始。 （如果没有，翻译所有点。）

线段OP的一个点由向量表达式给出

t.P

t 在[0, 1] 中。

这样一个点在[X0, X1] x [Y0, Y1]时属于封闭矩形

X0 ≤ Px.t ≤ X1
Y0 ≤ Py.t ≤ Y1

为了讨论这些不等式，我们必须根据Px 和Py 的符号来区分九种情况。

让我们处理两个肯定的情况。然后我们写

Py.X0 ≤ Px.Py.t ≤ Py.X1
Px.Y0 ≤ Px.Py.t ≤ Px.Y1

一起

0 ≤ Px.Py.t ≤ Px.Py

表示段的限制。

那么条件下的解集不为空

Max(Py.X0, Px.Y0, 0) ≤ Min(Py.X1, Px.Y1, Px.Py)

其他情况可以类似处理。计算成本是

6 initial subtractions
2 3-way sign tests
5 multiplications
5 comparisons

（当初始比较得出相等时，表达式会简化一点*并且成本更低）。

请注意，为了提高效率，此公式避免了除法。正如我在另一个答案中所说，< 与 ≤ 的相关性是值得商榷的（可能用区间算术处理）。

---

*设Py=0，那么我们把不等式写成

X0 ≤ Px.t ≤ X1
Y0 ≤    0 ≤ Y1
 0 ≤ Px.t ≤ Px

条件是

Max(X0, 0) ≤ Min(X1, Px) and Y0 ≤ 0 ≤ Y1.

显然，Px=Py=0 解决了

X0 ≤ 0 ≤ X1 and Y0 ≤ 0 ≤ Y1.