在一组圆圈中找到完全覆盖的圆圈

Posted 2023-02-22

【中文标题】在一组圆圈中找到完全覆盖的圆圈

【英文标题】：Find totally covered circles in a set of circles

【发布时间】：2016-05-26 20:31:04

【问题描述】：

我们在一个矩形区域有一组圆，所有的圆都有相同的半径，我想找到完全被其他圆覆盖的圆。 有什么算法吗？

【问题讨论】：

看这篇文章（可能有帮助）：math.stackexchange.com/questions/68395/…

【参考方案1】：

几何

首先，找出所有圆心距离主圆心2×r以内的圆；更远的圆圈不重叠。

^{示例：主（黑色）圆圈和 3 个重叠的圆圈。}

然后，要知道主圆被完全覆盖，您必须找到一组圆，其中位于主（黑色）圆内的两个圆的每个交点都被第三个圆覆盖。

算法

实际上，您从 2 个圆圈（例如蓝色和红色）开始，然后找到它们相交的 2 个点（紫色点）。如果一个或两个点都在主（黑色）圆圈内，那么这些点必须被另一个圆圈覆盖。

然后，一个接一个地添加一个额外的圆圈（例如绿色），并查看它是否覆盖了未覆盖的点（在示例中是这样）。但是，这个新圆添加了与集合中已经存在的其他圆（蓝色和红色）的新交点；找到这些点（蓝绿色和棕色点）并检查它们是否被任何一个圆圈覆盖（蓝绿色的被红色圆圈覆盖，但棕色的未被蓝色圆圈覆盖）。

继续向集合中添加圆圈，直到主（黑色）圆圈内的每个交点都被集合中的另一个圆圈覆盖（在这种情况下，整个主圆圈都被覆盖），或者直到你用完圆圈（其中如果主圈没有被完全覆盖）。

特殊情况： 如果其中一个圆的中心点与主圆完全相同，则它会自行覆盖主圆。 如果没有一个圆在主圆内有交点，则不覆盖主圆。

代码示例

这个代码示例演示了如何找到两个圆的交点，它处理了算法中所需的大部分几何图形。

function intersections(p, q, r) 
    var d = distance(p, q);
    if (d > 2 * r) return [];
    var m = middle(p, q);
    if (d == 2 * r) return [m];
    var a = angle(p, q) + Math.PI / 2;
    var l = length(d, r);
    return [x: m.x + l * Math.cos(a), y: m.y + l * Math.sin(a),
            x: m.x - l * Math.cos(a), y: m.y - l * Math.sin(a)];

    function distance(p, q) 
        return Math.sqrt(Math.pow(p.x - q.x, 2) + Math.pow(p.y - q.y, 2));
    
    function middle(p, q) 
        return x: (p.x + q.x) / 2, y: (p.y + q.y) / 2;
    
    function angle(p, q) 
        return Math.atan2(q.y - p.y, q.x - p.x);
    
    function length(d, r) 
        return Math.sqrt(Math.pow(r, 2) - Math.pow(d, 2) / 4);
    


document.write(JSON.stringify(intersections(x:1, y:2, x:3, y:-4, 5)));

【讨论】：

@lola 与往常一样比较距离时，比较距离的平方将消除计算（耗时）平方根的需要。