四边形的面积

Posted 2023-02-22

【中文标题】四边形的面积

【英文标题】：Area of a quadrilateral

【发布时间】：2017-02-20 00:32:41

【问题描述】：

我在一个平面上有 n 个点和一个目标区域 P。我试图找到四个点，它们的面积是四边形的角，面积最接近 P。以下是 n=5 和 P=30 的示例：

0, 0 10, 0 0, 10 10, 10 7、3

答案应该是 30.0（最接近 P，在这种情况下它是相等的）。

你有什么想法我可以做到这一点吗？我知道我可以使用 Heron 公式计算每个，但是我必须尝试每种组合还是有一些更短的方法？

【问题讨论】：

Heron 的公式适用于三角形，它自然扩展到四边形，称为 Brahmagupta 公式，仅适用于循环四边形，不适用于一般四边形。

你可以使用 Bretschneider 的公式。您需要使用一些触发器。

【参考方案1】：

你可以

采用具有所需顶点数和形状的单元/模板多边形。

为其添加一个乘法比例因子t，使其坐标看起来像

0, 0
10t, 0
0, 10t
10t, 10t
7t, 3t

使用shoelace formula 找出该区域，例如f(t)。

求解多项式方程f(t) = 30.0 的比例因子t 和多边形的相关坐标。

这应该会为您提供所需区域的多边形 (30.0)。

顺便说一句，我假设您知道多边形的形状，否则，有（无限）许多解决方案可以适合您的目标区域。

【参考方案2】：

一般来说，我想不出一种算法可以改进对所有可能的四边形的最坏情况迭代。如果该区域与点分布的区域相比较小，您可以使用quadtree 排列来清除距离太远而无法形成合理四边形的点。但即使在那里你也必须小心，因为一个很薄的四边形有远距离的点可能会有恰到好处的面积，所以你可能不得不让自己接受四次算法。

但是你可以使用加速：当你有三个点时，找到相关三角形的面积，如果它大于 abs(target area - best area so far) 那么你不需要尝试任何值第四点。

正如我在 cmets 中提到的，四边形区域需要 Bretschneider's formula，Heron 用于三角形。

【讨论】：

好吧，我知道 Heron 是针对三角形 xd 我想实际上将其面积计算为 2 个三角形。但无论如何，我做了蛮力，有 4 个 for 循环。它适用于我尝试过的测试用例，所以我希望它也能通过他们的测试。谢谢:)

@user3751721 是的，您可以这样做。很明显他们不会穿越吗？