枚举和索引所有可能的n个顶点树[关闭]

Posted 2023-02-22

【中文标题】枚举和索引所有可能的n个顶点树[关闭]

【英文标题】：Enumerating and indexing all possible trees of n vertices [closed]

【发布时间】：2017-03-13 02:34:13

【问题描述】：

我们一直在尝试找到一种方法来枚举和索引所有可能具有 n 个标记顶点的树。根据凯莱定理，应该有 n^n-2 棵树来自 n 个标记的顶点。有没有办法在 C/C++ 中索引所有可能的树，以便当用户输入整数/数字时，会实时生成唯一的树？

【问题讨论】：

欢迎来到 Stack Overflow。请花时间阅读The Tour 并参考Help Center 中的材料，您可以在这里问什么以及如何问。

@πάνταῥεῖ 这看起来很有主题。请不要盲目地用模板淹没网站。

@TatsuyukiIshi 这个问题对我来说看起来太宽泛了，不包含任何特定的 c++ 代码（该标签所必需的），没有像 c/c++ 之类的语言等，那又如何？

@πάνταῥεῖ 这道题显然有输入输出的要求。算法问题没有代码sn-p是很常见的，因为我们不知道要编写算法。 （不过，最好指出他拥有的树结构。）

@TatsuyukiIshi IMO 甚至 algorithm 问题应该表现出一些努力，伪代码尝试或其他什么。该标签不应被滥用为提出gimme teh codez之类的问题。

【参考方案1】：

快速浏览一下Cayley's formula 上的***文章（您提到的 n^n-2 公式）将我指向 Prüfer 序列，它是一个长度为 n-2 的序列，由（可能重复的）节点标签组成。很明显有n^n-2个这样的序列，每个序列都可以表示为一个n- 2 位基本 n 数字。每个 Prüfer 序列都对应于具有 n 个标记节点的唯一树不太明显，但这一事实足以证明 Cayley 的公式。

关于 Prüfer 序列的 Wikipedia 文章解释了如何转为 a sequence into its corresponding tree；相当于把一个整数变成一棵树。

我还没有尝试过，但看起来很有说服力。

【讨论】：

@istvan：生成下一个 Prüfer 序列很简单，因为它只是一个 n-2 位的 base-n 数，可以简单地在摊销 O(1) 中递增。 （向后扫描，直到找到一个不是 n-1 的数字；将其递增并将以下数字更改为 0。）将新的 Prüfer 序列变成一棵树并非易事，但这并不是那么困难，可以在 O 中完成(n)。

@istvan：现在我看了一下，OP 并不要求生成所有的树；它只是请求一个算法将范围内的索引转换为我的答案提供的相应树（诚然通过引用；也许我应该解决这个问题。）

能否请您详细说明如何在没有随机试验的情况下找到下一个 Prüfer 序列？也许我的误解源于我正在使用二叉树这一事实，它比所有平面树都更具限制性。

@istvan：确实，对于二叉树来说，它更复杂。但 Q 与二叉树无关。这是关于无根标记树，这是凯莱定理适用的集合。对于该集合，任何 n-2 个节点标签序列都是表示唯一树的有效 Prüfer 序列。

我不确定我能否关注你。对于n=5 叶子，共有v=2n-1=9 顶点和C_(n-1)=14 不同的、非同构标记的二叉树。然而，长度为v-2=7 的所有 14 个有效 Prüfer 序列远小于序列元素6, 6, 7, 7, 8, 8, 9 的 630 个排列（假设顶点标记为1..9）。我在这里错过了什么？

【参考方案2】：

我不精通 C 或 C++，但我认为我可以提供这样的理论，即枚举每棵树不应该太难。如果我需要澄清任何事情，请发表评论。

考虑二进制。

取一个邻接矩阵。为了描述一个顶点是否连接到另一个顶点，我们使用 1 或 0。因此，要使用邻接矩阵查找所有图，我们将使用 1 和 0 的所有组合填充一个矩阵。唯一的约束是对于树，一个节点不能是它自己的父节点，也不能有多个父节点。三个顶点的例子：

0 1 1  0 1 1  0 0 1
1 0 0  0 0 0  1 0 0
0 0 0  1 0 0  0 1 0 etc.

我们可以做的是将行并排放置，以便二进制序列描述每个矩阵。示例：

0 1 1 1 0 0 0 0 0  0 1 1 0 0 0 1 0 0  0 0 1 1 0 0 0 1 0 etc.

所以给定九位，我们可以用三个顶点来描述所有的图。这将转换为每个数字 1-2^9 的一棵树，减去彼此旋转的数字。

要将数字转换为树，只需将数字转换为二进制，然后将二进制转换为矩阵。要修复自连接，对于在对角线上或越过对角线的每个“1”，将其进一步移动一个。那么：

1 0 0         1 0 1 
0 1 0    ->   0 0 0
0 0 1         0 1 0

【讨论】：

“我不精通C/C++”难怪没有C/C++这样的语言。

@πάνταῥεῖ 哈哈，我已经编辑它“C 或 C++”

但这会产生很多非树，所以你不能真正使用它来找到给定序数的树。如果你使用最后提出的修正，那么你最终会得到数字和树之间的多对一关系。

@rici 更正消除了非树，但在更正之前存在多树问题。每棵树会有一些恒定数量的数字。我会在今天晚些时候解决这个问题。

@J369：您的提议似乎以 n x n 布尔数组开头，其中有 2^( n ^2) 但 Cayley 的公式预测 n ^( n -2)。这两个值没有明显的关系；我很想知道你是如何把那个圆弄成方形的。