如何理解这个答案中“q = i - 4;”的代码？

Posted 2023-02-22

【中文标题】如何理解这个答案中“q = i - 4;”的代码？

【英文标题】：How to understand the code of "q = i - 4; " in this answer?

【发布时间】：2017-06-23 11:34:13

【问题描述】：

问题描述

数列定义如下：

f(1) = 1, f(2) = 1, f(n) = (A * f(n - 1) + B * f(n - 2)) mod 7.

给定 A、B 和 n，你要计算 f(n) 的值。

输入

输入由多个测试用例组成。每个测试用例在一行中包含 3 个整数 A、B 和 n（1

输出

对于每个测试用例，在一行上打印 f(n) 的值。

示例输入

1 1 3
1 2 10
0 0 0

样本输出

2
5

代码

#include <iostream>
using namespace std;

int f[54] = 0, 1, 1;
int main()

    int A, B, n, q = 1;
    while (cin >> A >> B >> n && A && B && n)
    
        for (int i = 3; i < 54; ++i)
        
            f[i] = (A * f[i - 1] + B * f[i - 2]) % 7;
            if (i > 4)
               
                if (f[i - 1] == f[3] && f[i] == f[4]) //here too
                
                    q = i - 4; //I can't catch the point
                
            
        
        cout << f[n % q] << endl;

    
    return 0;

【问题讨论】：

这是作业吗？

为什么不问问写代码的人？

cin >> A >> B >> n && A && B && n 很可爱。如果你这样写，那么你就是专家，你不会问这个问题。这真的是你的代码吗？

如果有帮助的话，我做 C++ 已经 20 多年了，我也不明白 q 是什么，这是一个糟糕的代码，写它的人需要回到学校。

看代码只能推测f(n)是周期性的，它的周期是q，最大周期是53-4=49（也就是7*7） . q = i - 4 之前的 if 条件检测周期性。应该和问题描述一致，但是我现在没时间写完整的答案。

【参考方案1】：

鉴于f(n) 完全由f(n - 1) 和f(n - 2) 确定，并且任何f(x) 都是从0 到6 的整数，所以f(n - 1) 和f(n - 2) 的组合只有7*7=49 个。这意味着 f(x) 是周期性的，最大周期为 49。一旦我们知道了周期，计算 f(n) 就像 f(n % period) 一样简单，因为我们已经计算了 f(0)..f(48)。确切的周期取决于A 和B，需要计算。为了计算周期，我们只需要找到f 的两个连续值的重复。也就是说，如果f(x) == f(y) && f(x + 1) == f(y + 1)，那么|y - x| 要么是f 的一个句点，要么是它的整数倍。请注意f(n) == f(n % (k*period)) 与f(n) == f(n % period) 一样有效。因此，在有问题的代码中，q 要么是 f 的句点，要么是它的整数倍。

现在，为什么代码预先计算 f(0)..f(53) 而不是 f(0)..f(48)？我认为这有点过头了，因为超出最大周期的两个额外元素就足够了。

有关代码的另一个令人不安的事情是f[0] 是一个假值，如果n 是q 的倍数，则很可能会返回该值。这可能是一个错误。为了防止这种情况发生，我会将f 的索引移一，使f(0) == 1 && f(1) == 1 而不是f(1) == 1 && f(2) == 1。

【讨论】：

我认为，只有当必须打印多个 n 的值而不再次执行整个算法时，潜在的错误才会有问题。

【参考方案2】：

是的，这种问题应该是 OnlineJudge (OJ) 的问题。也许您是 ACM 的新手？

自爆是我的答案：

解决方案之所以可行，是因为mod 7，这意味着答案只能是 0、1、2、3、4、5、6。所以，这个问题只能从 3 循环到 54，因为那是足够。怎么说呢，因为 f[n] 仅由 f[n-1] 和 f[n-2] 之前的两个值确定，所以 f[n-1] 有 7 个选择（0-6），所以 f[ n-2]。

所以循环多49就够了，当一些f[n-1]和f[n-2]等于f[4]和f[3]时，下面的值就会循环。

看看你的第二个例子。

f[1] = 1
f[2] = 1
A = 1
B = 2
n = 10 // or set n larger.

我们会得到

f[3] = 3
f[4] = 5
f[5] = 4
f[6] = 0
f[7] = 1
f[8] = 1
f[9] = 3
f[10] = 5
f[11] = 4

如f[9] == f[3]和f[10] == f[4]，那么它会在之后以数字循环，4, 0, 1, 1, 3, 5，

所以q = i - 4 删除了前四个数字，因此n%q 是循环序列中第n 个数字的位置。

我想知道我是否已经清楚地说明了答案，希望这对你有所帮助。

【讨论】：

你的意思是因为mod 7，序列中只能出现7个不同的值，因此序列中最多可以有7*7=49不同的连续对，这是一个上限期间的长度？

是的，因为f[n]只和f[n-1]和f[n-2]有关，每一个只能是0-6，7*7 = 49。所以长度49 个数中必须有一个数 k，即 f[k] == f[3] 和 f[k+1] = f[4]。

如果它通过检查两个连续的1 值（它们是初始值）而不是索引为3 和@987654333 的值来确定周期长度，那么实现可能会更精明。 @.

Sorry, No. 如果你使用索引 1 和 2 会得到错误的答案，即f[1]=1, f[2]=1。例如，A=2 和 B=7，然后是 f[1]=1,f[2]=1,f[3]=2,f[4]=4,f[5]=1,f[6]=2,f[7]=4。您会看到永远不会得到连续的 1 和 1（前两个索引值）。 ACM（The ACM-ICPC International Collegiate Programming Contest）比赛总是设置这样的花样让比赛的人出错。

这里发生了一些可疑的事情。假设你的论点（“虽然有周期性，但1和1这对不一定需要出现两次”）是正确的，实现也是正确的。该实现最后做了一个简单的%q，这意味着输出只是从头开始重新启动。但是，一开始有一对1 和1，由于您的论点，这通常是错误的。不知何故，我对你的论点比对实施更信任……