硬币变化（动态编程）

Posted 2023-02-22

【中文标题】硬币变化（动态编程）

【英文标题】：Coin Change (Dynamic Programming)

【发布时间】：2012-10-25 18:50:09

【问题描述】：

对于硬币找零问题，我们通常有以下递推关系： （P 是我们需要找零的总金额，d_i 是可用硬币）

但我们不能这样： （V 是给定的可用硬币排序集，i 和 j 是它的下标，Vj 是给定的最高价值硬币）

C[p,Vi,j] = C[p,Vi,j-1]     if Vj > p
          = C[p-Vj,Vi,j] + 1  if Vj <=p

我写的有什么问题吗？虽然解决方案不是动态的，但它不是更有效吗？

【问题讨论】：

这不是假设 V 将包含一个价值 1 个单位的硬币。如果 P = 7 和 V = [3, 2]，你最终会得到 2 个价值 3 个硬币，然后出错而不是 1 个价值 3 个硬币和 2 个价值 2 个硬币。

@LastCoder 我明白你的意思。上述解决方案假设我们有一枚价值 1 单位的硬币。现在接下来的事情是，如果给我们一个价值 1 个单位的硬币，那么上面的解决方案比动态解决方案更有效，对吧？

您在公式中哪里使用Vi？

@IVlad：这个集合实际上是 Vi 到 Vj。所以当我写 Vi,j 时，我假设集合 V 包含从 Vi 到 Vj 的所有元素。当我写 Vi,j-1 时，我假设集合 V 包含从 Vi 到 Vj-1 的所有元素，这意味着最后一个硬币被排除在硬币集合之外。

这是一个非常令人困惑的符号，因为您也只使用Vj，并且使用逗号分隔索引和函数参数。我建议使用方括号使其更清晰，我将您的公式读为C[p,(Vi),(j-1)]; C[(p-Vj),(Vi),(j)]。

【参考方案1】：

考虑P = 6, V = 4, 3, 1。你会选择4, 1, 1而不是3, 3，所以3硬币而不是最佳2。

【参考方案2】：

您编写的内容类似于仅在特定条件下有效的贪心算法。 （见-How to tell if greedy algorithm suffices for finding minimum coin change?）。

另外，在您的版本中，您实际上并没有在循环中使用Vi，所以这只是浪费内存