找到最小矩形数量的算法

Posted 2023-02-22

【中文标题】找到最小矩形数量的算法

【英文标题】：Algorithm to dins minimal number of rectangles

【发布时间】：2013-11-21 18:13:03

【问题描述】：

我在坐标系中有一个矩形区域 R 和一组位于 R 内的点 P。所有边都平行于轴，所有点都是整数。我想以这样的方式将 R 分成更小的矩形

(a) 矩形的边要么紧贴 R 的边，要么包含至少一个来自 P 和的点

(b) 在每个矩形内，距离 P 正好有一个点

我必须找到覆盖 P 中所有点的最小矩形数量。这里绘制了一个示例：http://i5.minus.com/jC5LnVhjk6soT.png 紫色线表示不正确的划分，因为上面的矩形不包含 P 中的点。然而，蓝线是完全可以的，因为两个矩形都有一个从 P 开始的点，所以正确的输出应该是：2，因为这是矩形的最小数量。

有人知道找到最小数字的算法/方法吗？

【问题讨论】：

我会查看动态编程解决方案。

有一件事我不清楚：如何创建这些矩形？ （例如，2x2 矩形是有效的吗？）

如果每个矩形都必须包含一个点，那么你需要正好 |P|矩形。边角上的点呢？他们被允许吗？如果是，它们是否计算所有相邻的矩形，它们都不计算或不同的东西？

重读问题后，我猜边角上的点是允许的，有时甚至是必需的，但不算在任何矩形内，对吧？

丹尼尔，没错。每个矩形内必须恰好有一个点，但边缘/角上的这些点不算在内。边缘上的点可能很多。所以例如你可以在 P 中有 12 个点，但只形成 2 个矩形，因为其中 10 个在一条直线上，另外两个算作其中的点。您需要边缘上的这些点来创建分割线。你不能随心所欲地越线:)

【参考方案1】：

根据您的规范，我最终得到了这个递归算法：（伪代码~ruby 实现）

def resolve R, P
    if P.empty?
        return nil
    elsif P.size == 1
        return 1
    end

    results = []

    P.each do |p|
        rect1, rect2 = split_vertical(R, P, p)
        s1 = split_resolve(rect1, rect2)

        rect1, rect2 = split_horizontal(R, P, p)
        s2 = split_resolve(rect1, rect2)

        results.push [s1, s2].min
    end

    return results.min
end


def split_resolve rect1, rect2
    sum1 = resolve(rect1.R, rect1.P)
    sum2 = resolve(rect2.R, rect2.P)

    if !sum1.nil? and !sum2.nil?
        return sum1 + sum2
    else
        return nil
    end
end

函数split_vertical 和split_horizontal 用通过点p 的垂直线和水平线分割区域R。

您还可以使用动态规划优化此算法。您可以存储子矩形的结果，而无需再次计算。当多个点位于同一条线上时会发生这种情况。

ps : 不要复制原始源代码，nil 成语可能会出现一些问题。这只是整个过程的伪代码示例。

【讨论】：

这个算法如何使用动态规划技术？

它递归地将主要问题分解为两个子问题。

确实如此，所以它递归地解决了问题，而不是动态地。

我可能在正确的术语上错了。如果我的子问题与原始问题不同，它会是动态的吗？

Here 是将动态规划应用于背包问题的一个很好的例子。