如果边没有按权重排序的顺序插入双端队列，0-1 BFS 会产生正确的答案吗？

Posted 2023-02-22

【中文标题】如果边没有按权重排序的顺序插入双端队列，0-1 BFS 会产生正确的答案吗？

【英文标题】：If edges are not inserted in the deque in sorted order of weights, does 0-1 BFS produce the right answer?

【发布时间】：2016-10-21 10:54:24

【问题描述】：

0-1 BFS算法的一般趋势是：如果遇到权重=0的边，则将节点推到双端队列的前面，如果边的权重=1，则将其推到双端队列的最前面。双端队列的后面。

如果我们随机推边，那么 0-1 BFS 能计算出正确答案吗？如果在双端队列中输入的边没有按权重排序怎么办？

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这是通用的 0-1 BFS 算法。如果我跳过最后一个 if 和 else 部分并随机推动边缘，那么会发生什么？

对我来说，它应该可以工作，但是为什么这个算法是这样的呢？

void bfs (int start)

    std::deque<int> Q; // double ended queue
    Q.push_back(start); 
    distance[start] = 0;       
    while(!Q.empty())
    
        int v = Q.front();
        Q.pop_front(); 
        for(int i = 0 ; i < edges[v].size(); i++)
        
            // if distance of neighbour of v from start node is greater than sum of 
            // distance of v from start node and edge weight between v and its 
            // neighbour (distance between v and its neighbour of v) ,then change it
            if(distance[edges[v][i].first] > distance[v] + edges[v][i].second) 
            
                distance[edges[v][i].first] = distance[v] + edges[v][i].second;

                // if edge weight between v and its neighbour is 0 
                // then push it to front of
                // double ended queue else push it to back
                if(edges[v][i].second == 0)
                
                    Q.push_front(edges[v][i].first);
                
                else
                
                    Q.push_back(edges[v][i].first);
                
            
          
    

【参考方案1】：

这完全是性能问题。虽然随机插入仍能找到最短路径，但您必须考虑更多路径（图大小呈指数）。所以基本上，结构化插入保证了线性时间复杂度。让我们从为什么 0-1 BFS 保证这种复杂性开始。

基本思想与 Dijkstra 算法的一个相同。您访问的节点按它们与起始节点的距离排序。这可确保您不会发现会减少与迄今为止观察到的节点的距离的边（这将需要您再次计算整个子图）。

在0-1 BFS中，你从起始节点开始，队列中的距离只是：

d = [ 0 ]

然后你考虑所有的邻居。如果边缘权重为零，则将其推到前面，如果是一，则将其推到后面。所以你会得到一个这样的队列：

d = [ 0 0 0 1 1]

现在你取第一个节点。它可能有零权重边缘的邻居和一权重边缘的邻居。所以你做同样的事情并最终得到一个这样的队列（新节点标有*）：

d = [ 0* 0* 0 0 1 1 1*]

如您所见，节点仍然按距离排序，这是必不可少的。最终，你会到达这个状态：

d = [ 1 1 1 1 1 ]

从第一个节点开始经过零权重的边会产生总路径长度 1。经过一个权重的边会产生两个。所以做0-1 BFS，你会得到：

d = [ 1* 1* 1 1 1 1 2* 2*]

等等...所以总结一下，这个过程需要确保您按照节点到起始节点的距离顺序访问节点。如果你这样做，你将只考虑每条边两次（一次在前向，一次在后向）。这是因为当访问一个节点时，你知道不能再以更小的距离到达该节点。当您访问它时，您只考虑从节点发出的边。因此，即使该节点被其邻居之一再次添加到队列中，您也不会访问它，因为结果距离不会小于当前距离。这保证了 O(E) 的时间复杂度，其中 E 是边数。

那么，如果您不访问按与起始节点的距离排序的节点，会发生什么情况？实际上，该算法仍然会找到最短路径。但它会考虑更多的路径。因此，假设您访问了一个节点，并且该节点被它的一个邻居再次放入队列中。这一次，我们不能保证得到的距离不会更小。因此，我们可能需要再次访问它并再次将其所有邻居放入队列中。这同样适用于邻居，所以在最坏的情况下，这可能会传播到整个图，最终你会一遍又一遍地访问节点。你最终会找到解决方案，因为你总是减少距离。但所需的时间远远超过智能 BFS。