在图 G 中找到最大权重边？

Posted 2023-02-22

【中文标题】在图 G 中找到最大权重边？

【英文标题】：Find the maximum weight edge in a graph G?

【发布时间】：2019-10-11 19:25:43

【问题描述】：

我的任务是，给定图 G 中与 E 条道路相连的 V 个村庄，每条道路都标有一个正数。你必须至少达到这个数字的水平才能进入这条道路。换句话说，如果一条道路标为 5，那么您的等级必须至少为 5 或更高才能进入这条道路。现在我的任务要求设计算法，找到能够从任何其他村庄到达 V 中任何村庄所需的最低许可级别。所以，我的解释是我们可以在图中找到最大权重边。但我还没有弄清楚哪种算法适合这种情况。

【问题讨论】：

@mangusta 如果图有顶点 A、B、C 和边 (AB,1)、(BC,1) 和 (AC,1.5)，则级别 1 可以使用边传播到任何地方(AB) 和 (BC)，但从 A 到 C 的最短路径的最大权重为 1.5。

@conditionalMethod，感谢您指出这一点！你是对的

您可以将边从最小权重排序到最大。从图的一组顶点开始，没有边。开始按先前的顺序将边添加到图形中。在图形未连接或边用完时继续添加边。添加的最后一条边的权重为您提供解决方案。

用于测试连通性：当您添加第一个边标记时，它连接的两个顶点。添加新边时，标记可以使用新边到达的任何新顶点。只要有没有标记的顶点，图仍然是不连通的。

这基本上就是 Kruskal 的最小生成树算法的工作方式）简单来说我们需要选择最小生成树的最大边

【参考方案1】：

这个可以在O(E)解决。

为什么你的解决方案是错误的？考虑一个三角形，其中两条边为 1，最后一条为 2，所需的最低间隙为 1，您的解决方案为 2。

我能想到的解决方案是创建Minimum bottleneck spanning tree (MBST)，而不是利用它的最大优势，这将是您的许可级别。

为什么它会起作用？嗯，这棵树的最大边是你能得到的最小的（最小瓶颈），并且仍然可以到达图中的任何地方（跨越）。

MBST 可以是 created in O(E) 使用分而治之的方法，而不是遍历该树中的所有边以找到最大值为 O(E)。共O(E)。

您可以使用简单的MST 来解决它，因为任何MST 都是MBST（proof in q3），但这需要O(E log V) 或O(E + V log V)，具体取决于算法（Kruskal 或Prim)。

【讨论】：

感谢您的回复，但为什么要提到使用 MBST 而不是 MST（因为每个 MST 都必须是 MBST），它只是更快？我更喜欢其中一个命令说我们可以使用 Kruskal 算法在图中找到 MST。因为我的讲座刚刚介绍了 Kruskal 算法和分而治之的方法。

@D.dream 是的，它只是更快，问你的教授你需要达到的时间复杂度是多少。当我在大学做 Algo1 时，我们的作业中有这个，这就是我的回答。

@D.dream 我编辑了它，如果您对答案感到满意，我将不胜感激。