为啥偶数 N 比奇数 N 花费更长的时间？

Posted 2023-02-22

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【中文标题】为啥偶数 N 比奇数 N 花费更长的时间？【英文标题】：Why do the Even Ns take longer than the Odd Ns?为什么偶数 N 比奇数 N 花费更长的时间？ 【发布时间】：2019-04-22 13:41:26 【问题描述】：

我这里有一些代码可以在 python 中使用回溯来解决 n 个皇后问题。当我运行它时，赔率总是比偶数花费的时间少得多。当 n 达到 20+ 左右时，这一点尤其明显。有谁知道这是为什么？

import time
global N
N = int(input("Enter N: "))


def display_solution(board):
    print('\n'.join(['\t'.join([str(cell) for cell in row]) for row in 
    board]))


def safe(board, row, col):
    for i in range(col):
        if board[row][i] == 1:
            return False
    for i, j in zip(range(row, -1, -1), range(col, -1, -1)):
        if board[i][j] == 1:
            return False
    for i, j in zip(range(row, N, 1), range(col, -1, -1)):
        if board[i][j] == 1:
            return False
    return True


def solve_help(board, col):
    if col >= N:
        return True

    for i in range(N):
        if safe(board, i, col):
            board[i][col] = 1
            if solve_help(board, col + 1) is True:
                return True
            board[i][col] = 0
    return False


def solve():
    board = [[0 for x in range(N)] for y in range(N)]
    if solve_help(board, 0) is False:
        print("Solution does not exist")
        return False
    display_solution(board)
    return True


start = time.clock()
solve()
end = time.clock()
print(N, "\t", end-start)

我假设它一定与赔率与偶数不同的对角线有关。我也不确定这是否是所有回溯算法的问题，或者只是这个特定的代码。不管怎样，谢谢你的帮助。

【问题讨论】：

这是一个很好的观察结果，我很惊讶我在互联网上找不到任何东西，除了这个问题。 【参考方案1】：

当在第一列之一发生回溯并且必须尝试下一行时，该算法需要相当多的时间。将奇数 N 板与 N-1 板进行比较确实表明，偶数板的解决方案通常需要进行更多此类回溯/尝试下一个处理。例如，N=19 的解的左上角如下所示：

前五列中的这 5 个皇后很快找到，因为它们是第一个不与之前的皇后发生碰撞的皇后。显然可以放置其他皇后而不必重新考虑前五个皇后。

对于 N=18，解决方案的同一角如下所示：

注意用减号标记的位置。这个看起来很有希望（就像 19 板一样）：它的调查需要相当长的时间才能得出无法正确放置其他皇后的结论。这种早期失败的代价。

因此，19 板的解决方案比 18 板更快地找到。

请注意，27 的解决方案比 26 的解决方案花费的时间略多，尽管这并不重要：看起来时间复杂度是 O(2ⁿ)，因此要比较不同板尺寸的时间，最好在对数 Y 轴上进行：

“work”表示函数safe被执行的次数。

这种算法总是是否需要相对更多时间来处理偶数板（与 N+1 板所需的时间相比），但对于这几个板尺寸它似乎与这种算法自然形成的骑士跳跃有关，从左上角开始。请注意，这种模式对于 5 号和 7 号棋盘非常适用：下一个皇后可以坐下而不会干扰之前定位的皇后的第一个位置是解决方案的一部分总是。而对于 4 号和 6 号的棋盘，甚至没有任何解决方案，其中一个皇后在角落里，这是该算法的起点。