一些固定数字的排列

Posted 2023-02-22

【中文标题】一些固定数字的排列

【英文标题】：Permutations with some fixed numbers

【发布时间】：2011-01-19 21:07:07

【问题描述】：

如果我在指定位置需要一些字符/数字，如何有效地生成数字（或单词中的字符）的排列？

例如生成所有数字，其中 digit 3 位于第二个位置，digit 1 位于第二个位置。数字中的每个数字都必须是唯一的，并且您只能从数字 1-5 中进行选择。

4 3 2 1 5
4 3 5 1 2
2 3 4 1 5
2 3 5 1 4
5 3 2 1 4
5 3 4 1 2

我知道有一个 next_permutation 函数，所以我可以准备一个带有数字 4, 2, 5 的数组并将其循环发布到该函数，但是如何处理固定位置？

【参考方案1】：

生成2 4 5 的所有排列，并在输出例程中插入 3 和 1。只要记住他们必须的位置：

int perm[3] = 2, 4, 5;
const int N = sizeof(perm) / sizeof(int);

std::map<int,int> fixed;  // note: zero-indexed
fixed[1] = 3;
fixed[3] = 1;

do 
    for (int i=0, j=0; i<5; i++)
        if (fixed.find(i) != fixed.end())
            std::cout << " " << fixed[i];
        else
            std::cout << " " << perm[j++];
    std::cout << std::endl;
 while (std::next_permutation(perm, perm + N));

输出

 2 3 4 1 5
 2 3 5 1 4
 4 3 2 1 5
 4 3 5 1 2
 5 3 2 1 4
 5 3 4 1 2

【讨论】：

所以我应该创建下一个数组 0, 2, 4 并在将生成的排列放回数字时使用它？

只需将2,4,5 放入数组中即可。我已经发布了示例代码。 （很好的练习；）

【参考方案2】：

我已经阅读了其他答案，我相信对于您的具体问题，它们比我的要好。但是，如果有人需要通用解决方案来解决您的问题，我会回答。

我最近需要生成 3 个独立的连续范围 [first1, last1) + [first2, last2) + [first3, last3) 的所有排列。这对应于您的情况，所有三个范围的长度均为 1，并且仅由 1 个元素分隔。就我而言，唯一的限制是 distance(first3, last3) >= distance(first1, last1) + distance(first2, last2) （我确信可以通过更多的计算费用来放松）。

我的应用程序是生成每个唯一的排列，但不是它的反转。代码在这里：

http://howardhinnant.github.io/combinations.html

具体适用的函数是 combine_discontinuous3（创建组合），它在 reversible_permutation::operator() 中的使用创建排列。

这不是针对您的问题的现成打包解决方案。但它是一个工具集，可用于解决您的问题的概括。同样，对于您的确切简单问题，我推荐其他人已经提供的更简单的解决方案。

【参考方案3】：

记住在哪些地方需要固定号码。从阵列中删除它们。 像往常一样生成排列。每次排列后，将您的固定数字插入它们应该出现的位置，然后输出。

【参考方案4】：

如果您有一组数字 4,3,2,1,5 并且您知道 3 和 1 不会被置换，那么您可以将它们从集合中取出并生成 4 的幂集, 2, 5。之后，您只需将 1 和 3 插入到电源组中每个组的各自位置即可。

我发布了similar question，您可以在其中看到 powerset 的代码。

【讨论】：

生成 powerset 需要指数级的内存。使用标准 C++ 函数 next_permutation，这可以通过恒定数量的额外内存来完成。

@larsmans，我在这里有点困惑......我简要查找了question in which the powerset is generated using next_permutation，运行时间似乎是：O（n！ *2^n)。 Generating a powerset takes O(n*2^n)，所以看起来你要么节省运行时间，要么节省内存。

首先，OP 的问题是生成所有 permutations，而不是 subsets 或 combinations，因此 powerset 是在这里没用。接下来，生成所有排列的时间复杂度由排列数限制，即 n! = O(n ^ n)。使用next_permutation 循环对于时间复杂度n 的问题来说是最佳的！ * O(n) = O(n ^ (n + 1)) = O(n ^ n) 和常数空间。