找出所有低于 40 亿的素数的最快方法

Posted 2023-02-19

【中文标题】找出所有低于 40 亿的素数的最快方法

【英文标题】：Fastest way to find all primes under 4 billion

【发布时间】：2013-09-26 12:14:52

【问题描述】：

我正在尝试打印 2**32 以下的每个质数。现在我正在使用一个布尔向量来构建一个筛子，然后在制作筛子后打印出素数。打印出多达 10 亿个素数需要 4 分钟。有没有更快的方法来做到这一点？这是我的代码

#include <iostream>
#include <cstdlib>
#include <vector>
#include <math.h>

using namespace std;

int main(int argc, char **argv)
  long long limit = atoll(argv[1]);
  //cin >> limit;
  long long sqrtlimit = sqrt(limit);

  vector<bool> sieve(limit+1, false);

  for(long long n = 4; n <= limit; n += 2)
    sieve[n] = true;

  for(long long n=3; n <= sqrtlimit; n = n+2)
    if(!sieve[n])
      for(long long m = n*n; m<=limit; m=m+(2*n))
        sieve[m] = true;
    
  

  long long last;
  for(long long i=limit; i >= 0; i--)
    if(sieve[i] == false)
      last = i;
      break;
    
  
  cout << last << endl;

  for(long long i=2;i<=limit;i++)
  
    if(!sieve[i])
      if(i != last)
        cout<<i<<",";
      else
        cout<<i;
  
  cout<<endl;

【问题讨论】：

打印出前十亿个素数需要 waaaaay 超过 4 分钟。

我认为最快的方法是跳过所有你知道不是素数的数字，例如，以2、4、5（5 之后）、6 结尾的数字, 8, 0

如果需要 4 分钟。对于 10 亿，应该需要 16 分钟。 40 亿美元，与等待 SO 的答案相比，这还不算太糟糕。一旦你计算了它们，你就不需要再次计算它们了。哎呀，只是让他们离开网络并完成它！

为了减少存储需求，关于素数或非素数的信息在每个字节中存储了 30 个整数。只需要一位来存储整数的素数或非素数。整数的值由位的位置已知。在每 30 个整数中，对于 N >= 1，可能是素数的数是 N*30+1、N*30+7、N*30+11、N*30+13、N*30+17、N* 30+19, N*30+23, N*30+29 rsok.com/~jrm/printprimes.html

这是一场谁可以做最好的谷歌搜索的比赛吗？ ;-)

【参考方案1】：

我在blog 讨论生成大量素数的问题，我发现前十亿素数的总和是 11138479445180240497。我描述了四种不同的方法：

蛮力，使用试除法从 2 开始测试每个数字。

使用 2、3、5、7 轮生成候选，然后使用强伪素数测试对基数 2、7 和 61 进行素数测试；这种方法最多只能工作到 2^32，这对我来说不足以对前十亿个素数求和，但对你来说就足够了。

Melissa O'Neill 提出的一种算法，它使用嵌入优先级队列的筛子，速度非常慢。

Eratosthenes 分段筛，速度非常快，但需要空间来存储筛分素数和筛子本身。

【参考方案2】：

这可能会加快一点：

#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <iterator>
#include <vector>

int main()

    std::vector<unsigned long long> numbers;
    unsigned long long maximum = 4294967296;
    for (unsigned long long i = 2; i <= maximum; ++i)
    
        if (numbers.empty())
        
            numbers.push_back(i);
            continue;
        

        if (std::none_of(numbers.begin(), numbers.end(), [&](unsigned long long p)
        
            return i % p == 0;
        ))
        
            numbers.push_back(i);
        

    

    std::cout << "Primes:  " << std::endl;
    std::copy(numbers.begin(), numbers.end(), std::ostream_iterator<int>(std::cout, " "));

    return 0;

它有点像埃拉托色尼筛法的倒数（而不是从限制下的每个数字开始并消除倍数，而是从 2 开始并忽略直到限制的倍数）。

【讨论】：

是的。它在 ideone 上编译并运行（但超时）。在我的电脑上用VS2010和VS2012编译运行大概需要2分钟。

【参考方案3】：

最快的方法可能是采用预先生成的列表。

http://www.bigprimes.net/ 有前 14 亿个质数可供下载，其中应该包括每个低于 300 亿个左右的质数。

我认为加载二进制文件可能需要很长时间，因为它的大小只有几 GB。

【讨论】：

在线竞赛网站通常只接受源代码，并且有源代码大小限制以防止这种情况发生。

经常处理素数的程序员普遍认为生成素数比从磁盘中读取要快。

【参考方案4】：

您是否对花费最多时间的内容进行了基准测试？是筛子本身，还是输出的写法？

加快筛子速度的一种快速方法是不要担心所有偶数。只有一个偶数是质数，您可以对其进行硬编码。这会将您的数组大小减半，如果您遇到物理内存的限制，这将非常有帮助。

vector<bool> sieve((limit+1)/2, false);
...
  for(long long m = n*n/2; m<=limit/2; m=m+n)
    sieve[m] = true;

至于输出本身，cout 是出了名的低效。自己调用itoa 或类似的方法可能更有效，然后使用cout.write 输出它。你甚至可以去老学校，使用fwrite 和stdout。

【参考方案5】：

我用 C 语言编写了一种快速方法，在我的 Ryzen 9 3900x 上使用单线程在三分钟内输出多达 40 亿个素数。 如果你将它输出到一个文件，它最终是 2.298GB，我认为它使用大约 20GB 的内存来完成。

#include <stdlib.h>
#include <stdio.h>

#define ARRSIZE 4000000000
#define MAXCALC ARRSIZE/2

int main() 
    long int z;
    long int *arr = (long int*) malloc((ARRSIZE) * sizeof(long int));
    for (long int x=3;x <= MAXCALC; x++) 
        if (x % 10 == 3 || x % 10 == 7 || x % 10 == 9) 
            for (long int y=3; y < MAXCALC; y++)
                    z = x * y;
                    if (z < ARRSIZE)
                        arr[z] = 1;
                    else
                        break;
            
        
    
    printf("2 3 5 ");
    for (long int x=7; x < ARRSIZE; x++) 
        if (x % 2 != 0 && x % 10 != 5)
            if (arr[x] != 1)
                printf("%ld ", x);
    
    printf("\n");

    free(arr);
    return EXIT_SUCCESS;