为啥全对最短路径算法使用负权重？

Posted 2023-02-19

【中文标题】为啥全对最短路径算法使用负权重？

【英文标题】：Why do all-pair shortest path algorithms work with negative weights?为什么全对最短路径算法使用负权重？

【发布时间】：2014-05-18 10:57:30

【问题描述】：

我最近一直在研究全对最短路径算法，例如 Floyd-Warshall 和 Johnson 的算法，我注意到即使图包含负权重边（但不包含负权重循环），这些算法也会产生正确的解决方案.为了比较，Dijkstra 的算法（它是单源最短路径）不适用于负权重边缘。是什么让全对最短路径算法在负权重下工作？

【问题讨论】：

了解 Dijkstra 的算法不能使用负权重的原因可能很有启发性：***.com/questions/13159337/…

【参考方案1】：

Floyd Warshall 的所有对最短路径算法适用于具有负边权重的图，因为该算法的正确性不依赖于边权重是否为非负，而 Dijkstra 算法的正确性基于此事实。

Dijkstra 算法的正确性：

在算法的任何步骤中，我们都有 2 组顶点。集合 A 由我们计算到的最短路径的顶点组成。集合 B 由剩余的顶点组成。

归纳假设：在每一步，我们都会假设所有之前的迭代都是正确的。

归纳步骤：当我们在集合 A 中添加一个顶点 V 并设置距离为 dist[V] 时，我们必须证明这个距离是最优的。如果这不是最优的，那么必须有一些其他路径到顶点 V 的长度更短。

假设这条其他路径经过集合 B 中的某个顶点 X。

现在，由于 dist[V] <= dist[X] ，因此到 V 的任何其他路径将至少为 dist[V] 长度，除非图形具有负边长度。

Floyd Warshall 算法的正确性： 从顶点 S 到顶点 T 的任何路径都将通过图中的任何其他顶点 U。因此，从 S 到 T 的最短路径可以计算为

min( shortest_path(S to U) + shortest_path(U to T)) 用于图中所有顶点 U。

如您所见，只要子调用正确计算路径，图形的边就不会是非负的。只要基础案例已正确初始化，子调用就会正确计算路径。

【讨论】：

你不能只说“现在，因为 dist[V] in B.”，并解释为什么没有必要考虑 X 所在的情况A.

如果路径必须经过集合 A 的某个顶点，那么它将直接从该顶点开始。我认为这太基本了，不能添加。但是我补充说“X 在 B 组中”。感谢您指出。

【参考方案2】：

Dijkstra 算法不适用于负权边，因为它基于贪婪策略（假设），即一旦将顶点 v 添加到集合 S，d[v] 包含可能的最小距离。

但是如果 Q 中的最后一个顶点被添加到 S 并且它有一些传出的负权边。负边缘对距离的影响不计在内。

但是，所有对最短路径算法都会捕获这些更新。