正加权有向无环图中的k-边最短路径

Posted 2023-02-19

【中文标题】正加权有向无环图中的k-边最短路径

【英文标题】：k-Edge Shortest Path in Positive Weighted Directed Acyclic Graph

【发布时间】：2013-03-02 05:27:32

【问题描述】：

我得到一个图，G = (V, E)，它是正加权的、有向的和非循环的。我要设计一个在 O(k(m + n)) 中运行的算法，用于报告从 s 到 t 的 k 边最短路径。一条 k 边最短路径定义为一条从 s 到 t 的有 k 条边的路径，并且对于从 s 到 t 的所有路径，该路径的总权重也必须是最小的。

由于不能单独使用 BFS 来查找最短路径（除非权重相等），我认为运行时间意味着使用 BFS 来查找具有 k 个边的路径。让我失望的是 k，因为我认为这意味着执行 BFS k 次。

我可能的想法是从源运行 BFS 以查找所有可能的 k-link 路径。通过跟踪沿途的关卡并在将每个节点添加到队列时存储总路径权重，我可以找到所有可能的 k-link 路径及其权重。显然，如果我遇到具有较低路径权重的较低级别的目的地，则根据定义不存在 k 边最短路径。如果有超过 k 个边的路径总权重较小，那该怎么办？它也不是 O(k(m + n))。任何有用的提示将不胜感激。

【问题讨论】：

Dijkstra 算法？

【参考方案1】：

设f[i][j]为从s到j的i-link最短路径，最初我们有

f[1][x] = e(s, x);

然后迭代K - 1次，每一轮我们使用f[i][]计算f[i + 1][]，可以通过

for each node v:
    f[i + 1][v] = INF;
for each edge e[u][v]:
    f[i + 1][v] = min(f[i + 1][v], f[i][u] + e[u][v]);

因此需要O(k(n + m))。

【讨论】：

您还需要跟踪路径本身，而不仅仅是它的成本。需要一个类似的数组 parent[i][j]（i：步数，j：目标节点）。在对边 (u,v) 进行迭代时，存储导致最小值 f[i+1][v]

的 u