仅使用加法，除法和乘法以固定数量的步骤达到数字的算法
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【中文标题】仅使用加法，除法和乘法以固定数量的步骤达到数字的算法【英文标题】：Algorithm to reach a number in a fixed amount of steps using addition, division and multiplication only 【发布时间】：2011-06-27 22:33:00 【问题描述】：在工作中开发一款游戏，并且在游戏中的某个时刻，玩家被扔进了奖金游戏。他们需要赢得的金额是预先确定的，但是我们想提出一种算法，该算法使用加法、乘法和除法来以 x 步数获得该金额。步数也会提前知道，因此算法只需要弄清楚如何使用该步数来达到这个数字。
您可以使用的唯一计算是 +1 到 +15、x2、x4、/2、/4。 您可以在步骤中超过目标数，但必须在最后一步达到目标数。步长通常在 15 到 30 之间，您总是从 0 开始。
例如： 数量：100，步数：10 == +10、+2、x2、+4、x4、+10、/2、+15、+15、+9
数量：40，步数：12 == +15、+1、+5、+2、+1、/2、*4、+6、+6、/4、+5、*2
我很好奇这样的东西是否已经存在？我确信我们可以想出办法，但如果有一个通用算法可以处理这项工作，我不想重新发明***。
更新：对@FryGuy 的代码进行了一些小改动，使其成为到达目标号码的路线有点随机。他的解决方案按原样工作得很好，但在看到它工作并考虑到@Argote 和@Moron 的 cmets 之后，我意识到它需要有一定程度的随机化才能吸引我们的玩家。在 10 个步骤中添加 +1 以达到 10 的目标数字效果很好，但就我们如何使用它而言，它是“无聊的”。非常感谢所有评论和回答的人。
using System;
using System.Collections.Generic;
using System.Linq;
using System.Text;
namespace CR
class Program
static void Main(string[] args)
while (true)
int targetNumber = 20;
int steps = 13;
int[] route = null;
Boolean routeAcceptable = false;
// Continue choosing routes until we find one that is acceptable (doesn't average above or target win, but does exceed it at least once)
while(!routeAcceptable)
routeAcceptable = CalculateRoute(targetNumber, steps, out route) && route.Average() < targetNumber && route.Max() > targetNumber;
foreach (int i in route.Reverse())
Console.WriteLine(i);
Console.WriteLine("-----------------------");
Console.ReadLine();
static Boolean CalculateRoute(int targetNumber, int numSteps, out int[] route)
int maxValue = targetNumber * 16;
bool[,] reachable = new bool[numSteps + 1, maxValue];
// build up the map
reachable[0, 0] = true;
for (int step = 0; step < numSteps; step++)
for (int n = 0; n < maxValue; n++)
if (reachable[step, n])
foreach (int nextNum in ReachableNumbersFrom(n))
if (nextNum < maxValue && nextNum > 0)
reachable[step + 1, nextNum] = true;
// figure out how we got there
int[] routeTaken = new int[numSteps + 1];
int current = targetNumber;
for (int step = numSteps; step >= 0; step--)
routeTaken[step] = current;
bool good = false;
// Randomize the reachable numbers enumeration to make the route 'interesting'
foreach (int prev in RandomizedIEnumerbale(ReachableNumbersFromReverse(current)))
if (prev < targetNumber * 8)
if (reachable[step, prev])
current = prev;
good = true;
// Avoid hitting the same number twice, again to make the route 'interesting'
for (int c = numSteps; c >= 0; c--)
reachable[c, prev] = false;
break;
if (!good)
route = routeTaken;
return false;
route = routeTaken;
return true;
static IEnumerable<int> ReachableNumbersFrom(int n)
// additions
for (int i = 1; i <= 15; i++)
yield return n + i;
// mults/divides
yield return n / 2;
yield return n / 4;
yield return n * 2;
yield return n * 4;
static IEnumerable<int> ReachableNumbersFromReverse(int n)
// additions
for (int i = 1; i <= 15; i++)
if (n - i >= 0)
yield return n - i;
// mults/divides
if (n % 2 == 0)
yield return n / 2;
if (n % 4 == 0)
yield return n / 4;
yield return n * 2;
yield return n * 4;
static IEnumerable<int> RandomizedIEnumerbale(IEnumerable<int> enumerbale)
Random random = new Random(System.DateTime.Now.Millisecond);
return (
from r in
(
from num in enumerbale
select new Num = num, Order = random.Next()
)
orderby r.Order
select r.Num
);
【问题讨论】：
你不能在快速到达目标后用 x2, /2 填充台阶吗？还有其他限制吗？ 我认为您希望路线“有趣”而不是可预测的行为模式。我认为不会有真正的现有解决方案，因为算法解决方案往往完全围绕速度/内存而不是“兴趣”。 @Moron - 是的，我们可以，但正如@El Ronnoco 指出的那样，我们希望它有趣。用户不知道他们会赢得什么，所以我们希望它在进行过程中变得情绪化/令人兴奋。如果这有意义？ @Wesley：有趣是一个主观词。根据您认为有趣的内容，您可以添加约束（这就是我问您是否有任何约束的原因）。例如，一个约束可能是没有数字重复。所以你不能立即做 x2 然后 /2 等等。只是说你想要一些“有趣”的东西是没有意义的。简而言之：您决定什么是有趣的，并为此添加约束。 @Morno - 是的，你有一个很好的观点。我想我没有想过在我最初列出的内容之外会有什么类型的约束。我很欣赏这种洞察力，它让我思考得更努力了，这是一件好事。 【参考方案1】：您可以使用深度为 N 级的搜索树来强制执行此操作，其中 N 是步数。这将是 O(m^n)，其中 m 是允许的操作数。
可能有更好的算法，但这应该适用于较小的 N 值。
例如，使用 Breadth, Depth-First Search 或 A*。
【讨论】：
@David：很好的例子，我还应该注意，考虑到N 步骤上的M 运算符，这可能会返回从号码X 到号码Y 的所有可能路径。
@David：你会在这里使用什么作为 A* 的可接受启发式？
@Matthew：“算术运算使我们最接近期望的分数（不超过）。”
@David：嗯，一个可以继续使用除法运算符仍然可以返回，适当的启发式并不那么容易定义。
我同意你的看法。启发式可能很难定义。我只是在问题的限制范围内提出了我能想到的最简单的一个。【参考方案2】：
我会使用动态编程。首先，建立一张地图，标出每一步都可以到达哪些数字，然后回溯以了解您是如何到达那里的：
void CalculateRoute(int targetNumber, int numSteps)
int maxValue = targetNumber * 16;
bool[,] reachable = new bool[numSteps + 1, maxValue];
// build up the map
reachable[0, 0] = true;
for (int step = 0; step < numSteps; step++)
for (int n = 0; n < maxValue; n++)
if (reachable[step, n])
foreach (int nextNum in ReachableNumbersFrom(n))
if (nextNum < maxValue && nextNum >= 0)
reachable[step + 1, nextNum] = true;
// figure out how we got there
int current = targetNumber;
for (int step = numSteps; step >= 0; step--)
Console.WriteLine(current);
bool good = false;
foreach (int prev in ReachableNumbersFromReverse(current))
if (reachable[step, prev])
current = prev;
good = true;
break;
if (!good)
Console.WriteLine("Unable to proceed");
break;
IEnumerable<int> ReachableNumbersFrom(int n)
// additions
for (int i = 1; i <= 15; i++)
yield return n + i;
// mults/divides
yield return n / 2;
yield return n / 4;
yield return n * 2;
yield return n * 4;
IEnumerable<int> ReachableNumbersFromReverse(int n)
// additions
for (int i = 1; i <= 15; i++)
yield return n - i;
// mults/divides
if (n % 2 == 0)
yield return n / 2;
if (n % 4 == 0)
yield return n / 4;
yield return n * 2;
yield return n * 4;
【讨论】：
+1 我的数学很烂，但对于我只是模糊理解的问题，这是一个很好的答案:)【参考方案3】：从您想要的解决方案向后工作 由于您的除法和乘法仅由 2 和 4 组成，因此很容易知道您何时可以或不能执行这些操作 然后，对于最后的 4-5 步，你可以让它任意返回 0
添加到这个;您可以在初始阶段使用随机操作，检查您没有执行非法操作，您还应该包括检查范围。您不希望得到一个像 400 这样的数字，然后必须在最后一次操作中将它除以 4 多次，才能回到 0。
【讨论】：
以上是关于仅使用加法，除法和乘法以固定数量的步骤达到数字的算法的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章