计算机编程艺术中近似相等和本质上的区别

Posted 2023-02-19

【中文标题】计算机编程艺术中近似相等和本质上的区别

【英文标题】：Difference among approximatelyEqual and essentiallyEqual in The art of computer programming

【发布时间】：2011-04-13 07:53:21

【问题描述】：

我从其他地方得到这个代码 sn-p。据站长介绍，代码取自The art of computer programming by Knuth

由于我没有那本书的副本，请问这两种功能有什么区别？

bool approximatelyEqual(float a, float b, float epsilon)

    return fabs(a - b) <= ( (fabs(a) < fabs(b) ? fabs(b) : fabs(a)) * epsilon);


bool essentiallyEqual(float a, float b, float epsilon)

    return fabs(a - b) <= ( (fabs(a) > fabs(b) ? fabs(b) : fabs(a)) * epsilon);

【参考方案1】：

approximatelyEqual 给出a 和b 之间的差异是否小于可接受的误差（epsilon），由a 或b 中的较大者确定。这意味着这两个值“足够接近”，我们可以说它们大致相等。

essentiallyEqual 给出a 和b 之间的差异是否小于可接受的误差（epsilon），由a 或b 中的较小者确定。这意味着这些值的差异小于任何计算中可接受的差异，因此它们可能实际上并不相等，但它们“基本上相等”（给定 epsilon）。

这适用于我们有数据和“可接受的错误”率等问题。这段代码只是为您提供了这些术语的算法定义。

【讨论】：

你能举一个现实世界的例子，我们应该如何在这两个函数中进行选择？

This means that the values differ less than the acceptable difference in any calculation - 如果值差异较小，这也意味着close enough？那么，它和approximatelyEqual 有什么不同呢？

这是衡量计算是否产生良好结果的众多方法中最基本的两种。如果您依赖于人类理解的近似概念 - 近似相等的计算在依赖于人类解释的误差测量中很有用（当您关心人类是否认为您产生了错误时）。本质上相等处理软件和硬件的限制 - 当您测量计算机是否会将您的结果视为相同时很有用（计算机能够区分两个结果之间的差异吗？）

“大约”和“基本上”是艺术术语，还是 Knuth 决定为他的书赋予意义的几个词？其他人是否经常使用相同的词来指代相同的区别？

这些术语用于处理误差范围的领域，具有相同的一般区别 - 被分析的系统将基本相等的测量视为等效，而人类将近似相等的测量视为等效.区别并不总是相关的。

【参考方案2】：

区别在于本质相等意味着近似相等，反之则不然。所以本质平等比近似平等强。

同样本质相等是不可传递的，但是如果a本质上等于b，并且b本质上等于c，那么a大约等于c（对于另一个值ε)。

【参考方案3】：

举个例子：

double a = 95.1, b = 100.0;
assert( approximatelyEqual( a, b, 0.05 ) );
assert( !essentiallyEqual( a, b, 0.05 ) );

也就是说，当 epsilon 为 5% 时，95.1 约为 100，因为它落在 100 值（最大）的 5% 余量内。另一方面，95.1 本质上不是 100，因为 100 与 95.1（最小值）相差 5% 以内。

【讨论】：

我可以说，instantialEqual 总是需要一个closer 值而不是approximateEqual 吗？

是的，essentiallyEqual 值总是比approximatelyEqual 值“更接近”。

想想您的常规商店的优惠以及那里的百分比意味着什么。 33% 的价格折扣和 33% 的额外免费产品哪个更有价值？解决方案是您应该更喜欢 33% 的折扣，因为这相当于 50% 的额外免费产品优惠。这里也会发生同样的情况，这取决于您是否将 epsilon 取为两个值中较大或较小的值，结果会有所不同。 66.6 大约等于 100 与 33% 的 epsilon，但仅基本等于 50% 的 epsilon。