如何在图中找到这样的连接边对的最大数量，每对与另一对至少被两条边隔开？

Posted 2023-02-19

【中文标题】如何在图中找到这样的连接边对的最大数量，每对与另一对至少被两条边隔开？

【英文标题】：How to find maximum number of such pairs of connected edges in a graph that each pair is separated from another pair by at least two edges?

【发布时间】：2015-07-31 13:19:45

【问题描述】：

我需要在图中找到最大数量的连接边对，以使每对与其他对之间至少有两条边分开。这可以看作是最大匹配，没有覆盖交替路径中每个分量长度为 2 的所有边的约束。

条款说明：

连通对：边对必须在同一个连通分量中。

连接对：两条成对的边不一定需要共享一个顶点。

每对至少被两条边分开：给定对 [(u₁, v₁), (u₂, v₂)] 和 [(u₃, v₃), (u₄, v4)], u ∈ u₁, v₁, u₂, v₂ 和 v ∈ u₃, v₃, u₄, v₄ 不小于两个？

每个 pair 至少被两条边分开：给定对 [(u₁, v₁), (u ₂, v₂)] 和 [(u₃, v₃), (u₄ , v₄)]，例如 u₁ 和 u₂ 之间的最小距离可以是任何值，包括零（同一个顶点）？

【问题讨论】：

根据 j_random_hacker 的答案中的 cmets，您能否再次查看条款的说明？

【参考方案1】：

直接的方法是创建一个新图 G'，其中 G 中的每对连接边都有一个顶点，只要 G 中的对应边对是，一条边连接 G' 中的两个顶点相距少于 2 条边。然后，您可以在 G' 中查找 maximum independent set。

这远非理想，因为 G' 将是巨大的并且独立集是 NP 完全的。如果你能证明 G' 有一些特殊的结构，你可能会做得更好。例如，如果它必须是二分的，那么König's theorem 将让您使用最大匹配在多项式时间内找到最大独立集。 （这在实践中仍然会很慢，因为可能有 O(m^2) 个顶点......）

【讨论】：

很棒的答案。忘了说 G 实际上是二分的，但当然 G' 可以是任何东西。那么你认为这个问题可能是NP完全的吗？我想知道是否可以为此目的修改 hopcroft-karp。 （只要我获得足够的声望就投赞成票）

谢谢。不幸的是，事实证明这个问题毕竟是 NP 完全的：可以将独立集简化为这个问题。我将发布一个证明作为单独的答案；有点啰嗦。

二分图上的独立集是可溶的。此外，虽然您的 G' 有 O(m^2) 个顶点，但最终答案不能大于 n/3。我不认为你应该放弃，@j_random_hacker。

@Kittsil：我在缩减中发现了一个错误（这基本上涉及为 IS 实例中的每个顶点创建一个 3 顶点、2 边的小工具，然后“交叉链接”所有小工具顶点每当它们通过 IS 实例中的边缘链接时），所以你可能是对的......但我可能还想明白......

你把这个减少到 k 路径分区；复杂性证明将采用另一种方式。还是有希望的！