为啥具有可接受的非一致启发式的 A* 会找到非最优解？

Posted 2023-02-19

【中文标题】为啥具有可接受的非一致启发式的 A* 会找到非最优解？

【英文标题】：Why does A* with admissible non consistent heuristic find non optimal solution?为什么具有可接受的非一致启发式的 A* 会找到非最优解？

【发布时间】：2019-01-12 01:24:46

【问题描述】：

我知道具有可接受的非一致启发式的 A* 不会找到最佳解决方案，但我正在努力寻找何时会发生的示例。

由于这个想法，我找不到示例 - 在将我们的目标节点（具有非最优 f(n)）插入优先级队列后，优先级队列还必须包含节点，例如node_1 在最佳路径上。优先级队列中 node_1 的 f(n) 必须小于我们的目标节点的 f(n)，因为我们使用了可接受的启发式算法。这就是为什么 node_1 会提前出队，并且在 A* 的一些迭代之后（使用相同的想法）goal_node 会在找到最佳路径后稍后出队。

我在哪里想错了？当具有可接受的非一致启发式的 A* 会找到非最优路径时，有人可以给我一个简单图的简明示例吗？

谢谢。

【问题讨论】：

恕我直言，这个问题是针对 cs.stackexchange.com 甚至 math.stackexchange.com

这句话来自Wikipedia 是否回答了您的问题？ - "如果使用封闭集，那么 h 也必须是单调的（或一致的），A* 才能达到最优。... [如果不是单调的]，封闭集中的节点可能是重新发现并提高了成本”。

@Dukeling 我说我已经知道了。我正在询问将发生这种情况的图表示例或证明它为什么不是最佳的。

如果您使用 A* 算法as originally defined[PDF]，它将找到具有可接受启发式的最优解。

【参考方案1】：

这是一个图表示例，其中我们通过不一致的启发式得到错误的答案。在这里，启发式在每个节点附近用括号显示，边成本写在边旁边：

     (8)
      A
     / \
+1  /   \ +3
   /     \   
  B ----- C ----- D
(7)  +1  (0)  +6  (0)

在这里，从 A 到 D 的最佳路径是 A - B - C - D，总成本为 8。但让我们看看 A* 会做什么：

从 A 开始，选项是 A - B 的成本加启发式为 8，或者从 A - C 的成本加启发式为 3。所以我们选择 A - C。

现在，我们的选择是扩展 A - B 以获得 8 的成本加启发式，或扩展 C - D 以获得 9 的成本加启发式。所以我们选择 A - B。

我们已经通过前面的路径封闭了 C，所以我们不考虑边 B - C。相反，我们选择 C ​​- D 的成本为 9。

总的来说，我们找到了路径 A - C - D。哎呀。

下一个问题是你到底如何找到这样的例子，为此，我认为对于思考 A* 的工作原理非常有用的观点如下：

使用启发式函数 h(v) 在边具有成本 c(u, v) 的图上运行 A* 等效于在边 (u, v) 的成本为的图上运行 Dijkstra 算法c(u, v) + h(v) - h(u)。

换句话说，您可以想象 A* 正在做什么，就好像您在运行 Dijkstra 算法一样，通过添加跨每条边的启发式值的变化来调整每条边的成本。

这很有用的原因是，众所周知，Dijkstra 算法会在图中存在负边的情况下给出错误的答案。所以我们可以问 - 当我们将边成本更改为 c(u, v) + h(v) - h(u) 时，我们最终会得到负成本吗？换句话说，必须发生什么来确保

c(u, v) + h(v) - h(u) ≥ 0?

通过快速重新排列，您可能会注意到，如果

c(u, v) + h(v) ≥ h(u)

或者，等价的，uf

h(u) ≤ c(u, v) + h(v)。

嘿！这就是一致启发式的定义。

这意味着使用带有不一致启发式算法的 A* 可能会出错，这与使用负边权重的 Dijkstra 算法可能出错的方式完全相同。您（很可能）会遇到这样一个问题，即您在通往目标的路径上找到通往某个中间节点的次优路径，并从那里得到错误的答案。

我最终制作了上面的图表，其中 A* 失败了，首先从 Dijkstra 得到错误答案的图表开始，然后逆向设计一个启发式算法，使边缘成本全部为正：

    A
+0 / \ -5
  /   \
 B --- C --- D
    -6    +6

在这里，Dijkstra 找到的从 A 到 D 的路径是成本为 1 的路径 A - C - D，而不是成本为 0 的路径 A - B - C - D。这是同样的错误路径就像上面的 A* 示例一样。

【讨论】：

感谢您的回答。这很有帮助。但它并没有真正回答我的问题。在您的图形示例中，您使用的是不允许的启发式（节点 B 的启发式为 7，但实际路径的成本为 4）。我知道，在不允许的启发式 A* 下，可能会找到非最佳解决方案。但我很好奇找到这样一个图的例子，我们将使用 ADMISSIBLE 找到非最优解决方案，并且 A* 图搜索的启发式不一致。

@User5458622 糟糕！我刚刚更新了示例，使用了一个可接受的、不一致的启发式算法，但仍然给出了错误的路径。

错误示例。扩展CD意味着7的成本。

新的例子是不可接受的@templatetypedef

我在 A* 上看到了几种不同的变体。如果您使用封闭列表的概念，如 Dijkstra 算法，则 A* 需要一致的启发式算法以及可接受的启发式算法，以避免我的回答中说明的那种问题。如果你不使用封闭列表，那么如果你的启发式是可以接受的，那么你总是会得到正确的答案，但是运行时可能会在输入状态空间的大小上呈指数级增长。所以从这个意义上说，也许最好的答案是“如果你使用封闭列表，你可能会得到错误的答案，如果你不这样做，那么不一致会导致性能下降。”