约翰逊算法 - h 函数

Posted 2023-02-19

【中文标题】约翰逊算法 - h 函数

【英文标题】：Johnson's algorithm - h function

【发布时间】：2019-06-20 07:22:11

【问题描述】：

Johnson 的算法使用 Bellman-Ford 算法作为子程序来重新加权其输入图以消除其边上的负权重（假设没有负循环）。在标准实现中，在添加一个连接到所有其他节点的额外节点后，权重为 0，我们将新权重定义为：

w'(u,v) = w(u,v) + h(u) - h(v)

这个新的权重必须满足两个要求：

最短路径不变性（重新加权后的图中最短路径相同） 非负边权重（所有边必须具有非负权重）

在其标准实现中，函数h因此被定义为从添加节点到目标节点的最短路径权重（距离）：

h(v) = d(s,v)

所以我想知道的是：以其他方式定义 h 是否有意义？我正在考虑的一个方面是为此需要运行 Bellman-Ford。这主要是出于好奇，所以如果有替代 h 的“规范”定义的替代方案，即使是小细节对我来说也很重要。

【问题讨论】：

为了确保我能正确回答您的问题 - 您列出了新权重 w' 的两个要求。问题是“仅使用 h 来找到这个新函数 w'吗？”或者你在问为什么选择 h ？或者你在问是否有从 h 定义 w' 的直觉？还是别的什么？

我在问是否还有其他的 h 选择，与标准实现中 h 的“规范”选择相比，这些选择可能有它们的好处。因此，找出 h 的优势/直觉当然是有帮助的！

【参考方案1】：

这里有两种攻角。

首先是改变w'的定义。当前的定义不仅仅保留了最短路径；它保留了连接相同端点的路径长度之间的差异。我没有任何具体的想法来利用这里的差距。不幸的是，任何满足更强属性的重新加权都有一个相关的 h 函数。

第二个是改变h的定义。这个角度是没有希望的，因为当我们重写非负条件时，它看起来像

h(w) <= h(v) + d(v, w) for all vw in E,

这与最短路径的约束相同（最短路径线性程序具有根在距离为零的附加约束，并且它寻求最大化距离标签的总和）。我不会说你必须做 Bellman--Ford，但无论你用什么来计算 h，在某种意义上都必须是可以处理负权重的最短路径算法。

【讨论】：

嗯，这些都是好点，谢谢，我会从这两个角度考虑。使用 Bellman-Ford 以外的东西实际上听起来很有趣，所以我会寻找其他可以处理负权重的算法。此外，非常有趣的一点是，当前的定义比要求的要强，这似乎也是一个潜在的富有成果的研究途径。谢谢！