求解递归：T(n)=2T(n/2)+n/logn

Posted 2023-02-19

【中文标题】求解递归：T(n)=2T(n/2)+n/logn

【英文标题】：Solve the recurrence: T(n)=2T(n/2)+n/logn

【发布时间】：2012-08-20 15:09:43

【问题描述】：

我可以找到每一行的总和(n/log n-i)，我也可以绘制它的递归树，但我不能计算它的行​​的总和。

T(n)=2T(n/2)+n/logn

T(1) = 1

【参考方案1】：

当你开始展开递归时，你会得到：

你的基本情况是T(1) = 1，所以这意味着n = 2^k。代入你会得到：

第二个和的行为与harmonic series 相同，因此可以近似为log(k)。现在k = log(n) 得到的答案是：

【讨论】：

很抱歉在这么旧的帖子中提问，但我一直在寻找你的答案，我一直在试图理解为什么从 i=0 到 k-1 1/(ki) 的总和表现与调和级数相同。提前谢谢你。

@Ph.只需将总和写为 k-1 个元素的实际总和即可。

【参考方案2】：

假设 n = 2^k;

我们知道调和级数（欧拉公式）：

Sum[i = 1 to n](1/i) ~= log(n) [n -> infinity]

t(n) = 2t(n/2) + n/log(n)
     = 2(2t(n/4) + n/2/log(n/2)) + n/log(n)
     = 4t(n/4) + n/log(n/2) + n/log(n)
     = 4(2t(n/8) + n/4/log(n/4)) + n/log(n/2) + n/log(n)
     = 8t(n/8) + n/log(n/4) + n/log(n/2) + n/log(n)
     = 16t(n/16) + n/log(n/8) + n/log(n/4) + n/log(n/2) + n/log(n)
     = n * t(1) + n/log(2) + n/log(4) + ... + n/log(n/2) + n/log(n)
     = n(1 + Sum[i = 1 to log(n)](1/log(2^i)))
     = n(1 + Sum[i = 1 to log(n)](1/i))
     ~= n(1 + log(log(n)))
     = n + n*log(log(n)))
     ~= n*log(log(n)) [n -> infinity]

【参考方案3】：

遵循下面的扩展大师定理。

使用扩展大师定理T(n)=2T(n/2)+n/logn 可以很容易地解决如下。 这里n/log n部分可以改写为n * (logn)^-1， 有效地使 p=-1 的值。 现在扩展大师定理可以很容易地应用，它会涉及到扩展大师定理的案例2b。

T(n)= O(nloglogn)

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https://www.youtube.com/watch?v=Aude2ZqQjUI