在解决重复问题时，地板和天花板何时重要？

Posted 2023-02-19

【中文标题】在解决重复问题时，地板和天花板何时重要？

【英文标题】：When do floors and ceilings matter while solving recurrences?

【发布时间】：2012-04-21 06:01:35

【问题描述】：

我在解决重复问题时遇到了忽略地板和天花板的地方。

示例来自CLRS（第 4 章，第 83 页），其中忽略了楼层：

Here（pg.2，练习 4.1–1）是忽略上限的示例： （编辑：我从公众舆论中得知这有点可疑。）

实际上在CLRS (pg.88) 中提到：

“解决重复问题时，地板和天花板通常无关紧要”

我的问题：

这里的“通常”是指所有情况吗？如果是的话，我可以一直忘记它们。 如果不是，那么在解决重复问题时，地板和天花板何时真正计算在内？

注意：这不是作业问题。我在刷新我的 DS 和算法概念时想到了它。

【问题讨论】：

在你的例子中，它没有被忽视。

@Oli Charlesworth：是的..这就是我迄今为止所看到的，它被忽视了。甚至 CLRS 也提到“它通常被忽视”。我想知道地板和天花板什么时候真的很麻烦？还是我可以一直忽视他们？

……另外，这是一道数学题，不是编程题。乍一看，地板/天花板被不平等消除的原因是正在检查渐近行为；复发根本没有解决。

@Potatoswatter ：我已经看到关于重复、大哦等的问题。算法的东西被张贴在 SO 上，这些东西与编程没有直接关系。如果这里不适合发布我的问题，您能推荐一个好地方吗？

@TejasP math.stackexchange.com

【参考方案1】：

对于所有 x，地板和天花板函数满足以下不等式：

x−1 x⌋ ≤ x

x ≤ ⌈x⌉ x+1

因此，在第一个示例中，我们有 ⌊n / 2⌋ ≤ n / 2。此外，由于对数是单调递增函数，我们知道lg ⌊n / 2⌋ ≤ lg(n / 2)。把这些放在一起，我们得到第一个不等式 2(c ⌊n / 2⌋ lg ⌊n / 2⌋) + n ≤ cn lg(n / 2) + n.

第二个例子实际上包含一个错误：c lg ⌈n / 2⌉ + 1 is never less than but can be equal to c lg(n / 2) + 1. 然而，c lg ⌈n / 2 是 ⌉ + 1 ≤ c lg(n / 2 + 1) + 1，然后我们可以从上面通过 c lg (n / 2) + 2（假设 n ≥ 2），从而得出期望的结论 T(n i>) ∈ O(lg n).

事实上，第二个示例也包含其他错误：即使使用以下段落中所述的假设（您没有引用），最后一个 = 符号应该是 ≤。

（Ps。唷，没有 LaTeX 打字真的很痛苦。这就是为什么最好在 math.SE 上提出这些问题。）

【讨论】：

@ilmariKaronen：谢谢解释。那么我可以说在使用替代方法时永远不能忽略天花板吗？

@TejasP：对于楼层，对于任何单调递增函数 f，f(⌊x⌋) ≤ f(x)。这不适用于天花板，但我们总是可以使用 f(⌈x⌉) ≤ f(x+1) 来代替。

@lava_07: f(x) = 42 是一个单调递增函数（虽然不是严格递增）。如果 f 严格递增，则 f(⌈x⌉)

@lava_07：是的，对数函数是严格递增的，至少在数学上是这样定义的。在我的脑海中，我不能 100% 确定即使在考虑了浮点不准确性之后，它是否仍然可以保证，但我怀疑它不是。 （再说一次，对于浮点，你甚至不能保证 x+1 ≥ x。）

@lava_07：嗯，x

【参考方案2】：

您的两个示例都可以通过主定理进行分析。 Akra–Bazzi theorem 概括了主定理，并给出了何时可以忽略小扰动的充分条件（扰动 h(x) 为 O(x/log² x)）。对于 Akra–Bazzi 可分析的整数索引递归，您可以总是忽略地板和天花板，因为它们的扰动最多为 1。

Akra–Bazzi 未涵盖的每个重复在算法和数据结构的上下文中都是非常奇特的。

【讨论】：

thnkx 指向 Akra–Bazzi 定理。我以前不知道......我可以对替代方法说同样的话吗（即地板和天花板总是被忽略）？

如果您对 T 的猜测单调增加并且您对上限感到满意，那么您始终可以忽略下限。要正式处理上限，通常必须将 T(ceil(...)) 分析为 T(...) + ... 其中第二个 ... 是低阶项。例如，如果您的猜测是 T(n) = n^2，那么 T(ceil(n/2)) ≤ T(n/2 + 1) = T(n/2) + n + 1。 ，一个人可以完成整个算法博士学位，而无需使用替换方法解决单个递归。