用 log n 求解主定理：T(n) = 2T(n/4) + log n

Posted 2023-02-19

【中文标题】用 log n 求解主定理：T(n) = 2T(n/4) + log n

【英文标题】：Solving master theorem with log n: T(n) = 2T(n/4) + log n

【发布时间】：2015-09-08 08:07:13

【问题描述】：

我目前正在尝试解决与主定理的关系：

T(n) = 2T(n/4) + log n

我已经知道 a = 2 和 b = 4，但我对 log n 感到困惑。

我的脚本说：c(n)（这里是 log n）是 Big O(n^d) 的元素。

如果我能在这里算出我的 d，我会比较 a 和 b^d 以找出我的主定理案例。

但是，由于它在这里是 log n，我不确定它的大 O 表示法。

我的意思是我可能会说它是 O(n^1/2) 的元素，这将导致情况二，其中 a 和 b^d 相同，但它也是 O(n^1/2) 的元素O(n¹)，然后又是另一种情况。

【问题讨论】：

这里是否需要使用主定理，或者您可以通过其他方式解决这个问题吗？

我其实是需要使用它的，是的。

在情况 2（至少在 Wikipedia 中的编号中），您需要log n=Θ(n^1/2log^k (n))。在第 3 种情况下，您需要log n=Ω(n^1/2)。两者都不是真的。

【参考方案1】：

一个有用的事实是，对于任何 ε > 0，我们都知道

log n = O(n^ε).

我们也知道

log n = Ω(1)

让我们看看这是否能告诉我们什么。我们知道，对于任何 ε > 0，您的重复周期都受此约束：

S(n) = 2S(n / 4) + n^ε

让我们在这里使用主定理。我们有 a = 2、b = 4 和 d = ε。我们需要推理 log_b a = log₄ 2 = 1/2 以及它与 d = ε 的关系。让 ε 变小 - 比如说，让我们选择 ε = 0.000001。然后我们有 log_b a

O(n^{log_b a}) = O(n^1/2)。

接下来，考虑这个递归关系：

R(n) = 2R(n / 4) + 1

此重复周期会降低您的重复周期。使用主定理告诉我们，R(n) = Ω(n^1/2) 也是如此。

总体而言，我们看到您的重复周期为 O(n^1/2) 和 Ω(n^1/2)越来越大的复发。因此，即使主定理在这里不适用，您仍然可以使用主定理声称运行时间将为 Θ(n^1/2)。

希望这会有所帮助！