最长正确前缀/后缀算法为啥/如何工作？

Posted 2023-02-19

【中文标题】最长正确前缀/后缀算法为啥/如何工作？

【英文标题】：Why/how does the Longest Proper Prefix/Suffix algorithm work?最长正确前缀/后缀算法为什么/如何工作？

【发布时间】：2020-07-06 06:41:16

【问题描述】：

LPS（Longest Proper Prefix，也是后缀）算法如下：

public static int[] constructLPSArray(String s) 
        int n = s.length();
        int[] arr = new int[n];
        int j = 0;
        for (int i = 1; i < n; ) 
            if (s.charAt(i) == s.charAt(j)) 
                arr[i] = j + 1;
                i++;
                j++;
             else 
                if (j != 0) 
                    j = arr[j - 1];
                 else 
                    i++;
                
            
        
        return arr;
    

if (s.charAt(i) == s.charAt(j)) 部分看起来很清晰，但 else 部分不清楚。 我们为什么这样做：

if (j != 0) 
  j = arr[j - 1];
 else 
  i++;

更具体地说，为什么j = arr[j - 1] 有效？或者我们为什么要这样做？我们如何验证这一步的正确性？

【参考方案1】：

假设我们正在解析一个字符数组，其中 i 和 j 的位置如下：

a b a b x x a b a b ...
      ^           ^
      j           i

arr 持有：

0 0 1 2 0 0 1 2 3 4

我。例如，该长度的 s 的每个子串的最长前缀/后缀的长度，直到i。您可能会猜到它是如何从算法的其余部分生成的。现在，如果i 之后的下一个字符与j 之后的下一个字符不匹配，

a b a b x x a b a b a ...
        ^           ^
        j           i

我们不必重试匹配，因为我们知道最长的前缀/后缀我们之前的前缀/后缀！查找 arr[j - 1] 得到 2 - 所以我们基本上缓存了此处突出显示的部分的信息

A B a b x x a b A B a ...
=== ^           === ^
    j               i

完全相同，无需再比较！

【讨论】：

你能解释一下为什么时间复杂度是 O(n) 而不是 n^2 其中 n 是字符串的长度吗？由于 'j' 可能会在某些循环迭代中递减，它似乎可能是 O(n^2)

它是否需要查找“我们之前的前缀/后缀的最长前缀/后缀”，它只为任何 i 递减一次 j？想知道它的复杂性如何是线性的。

@JoeBlack x = # i,j 增加； y = # j 减少； z = # 只有 i 增加了； A = x+y+z = 我们知道 x+z

【参考方案2】：

  *Here's one more solution*
  int length=str.length();
  int mid=length/2;
  if(length<2)
       System.out.println("-1");
  
  for(int i=mid;i>=0;i--)
      String prefix=str.substring(0,i);
      String suffix=str.substring(length-i,length);
      if(suffix.equals("") || prefix.equals(""))
            System.out.println("-1");
      
      if(suffix.equals(prefix))
          System.out.println(suffix.length());
          break;