算法将点放入具有最大最小距离的正方形

Posted 2023-02-18

【中文标题】算法将点放入具有最大最小距离的正方形

【英文标题】：Algorithm putting point into square with maximal minimum distance

【发布时间】：2011-02-12 23:55:00

【问题描述】：

我被困在这个问题上：有一个正方形。将 n 个点放入这个正方形中，使最小距离（不一定是平均距离）尽可能高。

我正在寻找一种算法，它能够在给定数量的情况下生成所有点的坐标。

n=4;5;6 的示例结果：

请不要提及基于计算能力的东西，例如尝试很多组合，然后挑出正确的组合和类似的想法。

【问题讨论】：

这和“正方形的圆圈”一样吗？ en.wikipedia.org/wiki/Packing_problem#Circles_in_square

请让OP声明它是否是家庭作业。

@zaf 我认为这与正方形中的圆圈无关，圆圈接触，这里的点排斥，即使您假设这些点是圆圈的中心，圆圈也会重叠。 :)

@zaf：我刚刚检查了 3;6;7 的前几个解决方案，但我认为它是相同的（或者至少做得很好）。您能否将其发布为答案，以便我标记它？谢谢。 | @ravi：这显然不是功课，因为解决起来并不那么明显。自从我看到所有解决方案后，我就一直在想它——我想要一个证明它们实际上没有错。

来自 wiki 条目：“将 n 个单位圆打包成可能的最小正方形。这与单位正方形中的散布点密切相关，目的是找到点之间的最大最小间隔 dn[ 1]。为了在这两个问题的公式之间进行转换，单位圆的正方形边将为 L=2+2/dn" 所以是的，这两个问题是等价的。

【参考方案1】：

这是circles in square 打包问题。

Hallard T. Croft、Kenneth J. Falconer 和 Richard K. Guy 在Unsolved problems in geometry 中将其作为问题 D1 进行了讨论，第 108 页。

第 109 和 110 页包含参考列表。

【讨论】：

真的很好！现在，如何生成坐标。

你们想要带有参考列表的下一页吗？

@zaf，如果有关于这个主题的更多信息，你能给我们这本书的标题和作者吗？ （或者可能还有其他谜题？）

我同意距离相同，但这不是问题的解决方案。这里的点可以位于正方形的边缘，但在正方形的圆圈中，除非 r="0"，否则中心不能位于边缘。

@Ravi 作者写道“这两个问题是等价的”。您必须不同意他们的观点，否则您不会对我的回答投反对票。

【参考方案2】：

你可以做一个N body simulation 点互相排斥，也许用 1/r^2 力。点的移动显然会受到正方形的限制。从大约在正方形中心的所有点开始。

【讨论】：

是的，你“可以”。但这会有什么好处吗？ （你能给出什么保证？你能说它在某个最优因素之内吗？）（请参阅 OP 的相关评论：“请不要提及基于计算能力的东西，例如尝试大量组合然后挑剔正确的和类似的想法。”）

我可以看到 N 体模拟有助于快速近似。

“最大最小距离”相当于 1/r^infinity 势。如果有人想以这种方式创建近似值——这让我觉得这是一种很好的启发式方法——应该从 1/r^2 开始，然后在接近解决方案时转向更高的幂。

【参考方案3】：

Mikulas，我找到了一个页面，里面有很多可能是最佳或目前最知名的解决方案的图片示例。这不是我的，所以使用它需要您自担风险。

见

http://www.ime.usp.br/~egbirgin/packing/packing_by_nlp/numerical.php?table=csq-mina&title=Packing%20of%20unitary-radius%20circles%20in%20a%20square

来源：

http://www.ime.usp.br/~egbirgin/packing/packing_by_nlp/

【讨论】：

+1。我怀疑这些实际上是最优的（在数值上），原因有两个：他们在描述他们的算法时使用了“解决”这个词，并且不同的 n 有不同的试验次数，这表明他们可能很早就达到了最优。 （可以肯定的是，最好查看源并查看它们是否仅在对偶间隙变为 0 时才停止，或者什么。）

@ShreevatsaR：乐观主义是另一个需要证明的话题。 ;] 有时候，足够好就是足够好。

是的，我知道，我只是说这些不仅足够好，而且实际上似乎也是最佳的。

一些较高的 n 看起来并不令人信服。 (50+)

有趣的是，我还没有看到在正方形的 2 个连续角中至少有 2 个点的解决方案。当然，你还有n-2 点可以放置。