log函数的复杂度是多少？

Posted 2023-02-18

【中文标题】log函数的复杂度是多少？

【英文标题】：What is the complexity of the log function?

【发布时间】：2011-11-11 03:46:59

【问题描述】：

log base 10函数的复杂度是多少？

【问题讨论】：

这不取决于所使用的算法吗？例如，查找表是 O(1)。

【参考方案1】：

在O(1) 中做log(n)（其中n 是整数）

int log(long long x)

    return 64 - __builtin_clzl(x) - 1;

__builtin_clzl(x) 参考here

【讨论】：

这将计算数字的二进制对数，假设数字是整数。但如果你想计算以 10 为底的对数，我认为你需要使用不同的策略。

这段代码实际上是在 2 的基础上返回 log。

@iamakshatjain，您可以更新代码，使其适用于用户指定的任何基值。

【参考方案2】：

这实际上取决于您要计算对数的值的域。

对于 IEEE 双精度数，许多处理器可以在一条汇编指令中取对数；例如，x86 具有 FYL2X 和 FYL2XP1 指令。虽然通常像这样的指令只会取某个固定底数的对数，但它们可以用来取任意底数的对数，因为

log_a b = log_c b / log_c a

只需取两个对数并求商。

对于一般整数（任意精度），您可以使用重复平方与二分搜索相结合，仅使用 O(log log n) 算术运算来取对数（每次平方数字时，您将指数翻倍，这意味着您在超过它的值之前只能将数字 log log 平方 n 次，并且可以进行二进制搜索）。使用some cute tricks with Fibonacci numbers，您只能在 O(log n) 空间中执行此操作。如果您正在计算 binary logarithm，您可以使用一些可爱的技巧与位移一起在更短的时间内计算该值（尽管渐近复杂度是相同的）。

对于任意实数，逻辑更难。您可以使用牛顿法或泰勒级数来计算一定精度内的对数，但我承认我不熟悉执行此操作的方法。但是，您实际上很少需要这样做，因为大多数实数都是 IEEE 双精度数，并且在这种情况下有更好的算法（甚至是硬件指令）。

希望这会有所帮助！

【讨论】：

对于整数，通常还有一个指令（或一个短序列，要执行CTZ(x & (x - 1)) 或wordsize - LZC(x)） - 但 AFAIK 根本无助于时间复杂度（只是实际速度）

@templatetypedef 您可以将其乘以一个常数因子以获得任何其他基数的对数，正如您刚才演示的那样。 :)

@NickJohnson 是的，并且认为它确实很快，我们应该注意，乘法运算本身具有更高的对数复杂度：en.wikipedia.org/wiki/…