棘手的算术还是花招？

Posted 2023-02-17

【中文标题】棘手的算术还是花招？

【英文标题】：Tricky arithmetic or sleight of hand?

【发布时间】：2010-08-01 05:09:21

【问题描述】：

Vincent 通过建议这个函数回答了Fast Arc Cos algorithm。

float arccos(float x) 
 
    x = 1 - (x + 1); 
    return pi * x / 2; 
 

问题是，为什么是x = 1 - (x + 1) 而不是x = -x？

【问题讨论】：

注意：显然这里提供的解决方案不太正确，但问题仍然存在。

【参考方案1】：

仅当 (x + 1) 导致精度损失时，它才会返回不同的结果，即 x 比 1 大或小多个数量级。

但我不认为这是棘手或诡计，我认为这只是错误。

cos(0) = 1 but f(1) = -pi/2
cos(pi/2) = 0 but f(0) = 0
cos(pi) = -1 but f(-1) = pi/2

其中f(x) 是Vincent 的arccos 实现。它们都偏离pi/2，至少这三个点正确的线性近似是

g(x) = (1 - x) * pi / 2

【讨论】：

我仍然没有得到精度部分的损失，你能提供一个例子吗？

@David，试试1.0 - (1.0 + 1e-16) vs -(1e-16)

看一下acos 的图表 - 更好的线性近似值（基于 x=0 处的切线）将是 g(x) = pi/2 - x，它非常准确，除非 x 接近-1 或 1

@BlueRaja：我同意简单地连接这三个点并不是最优的（使用 x=0 处的切线也不能最小化均方误差），只是它是最简单的近似这可能有用。文森特给的原件肯定没用。

【参考方案2】：

我不会立即看到细节，但想想当 x 从任一侧接近 1 或 -1 时会发生什么，并考虑舍入误差。

【参考方案3】：

加法会导致两个数字都被归一化（在这种情况下，与 x 相关）。 IIRC，在 Knuth 的第 2 卷关于浮点运算的章节中，您甚至可以看到像 x+0 这样的表达式。