仅使用增量、循环、赋值、归零的减法运算

Posted 2023-05-08

【中文标题】仅使用增量、循环、赋值、归零的减法运算

【英文标题】：Subtraction operation using only increment, loop, assign, zero

【发布时间】：2016-03-08 18:56:36

【问题描述】：

我正在尝试仅使用以下运算来构建减法、加法、除法、乘法和其他运算：

incr(x) - 一旦这个函数被调用，它会将 x + 1 分配给 x assign(x, y) - 这个函数会将 y 的值赋给 x (x = y) zero(x) - 此函数会将 0 分配给 x (x = 0) 循环 X - 括号内的操作将被执行 X 次

使用以下规则可以直接实现加法（添加），如下所示：

ADD (x, y) 
 loop X 
   y = incr (y)
 
return y

但是，我正在努力实现 减法。我认为所有其他需要的操作都可以使用减法完成。

任何提示将不胜感激。

【问题讨论】：

你确定这是可能的吗？您创建的任何新值似乎都是输入的固定常数或正仿射函数。

可能是，我听到了这个问题。自己没见过。但可以肯定的是，没有像递减这样的功能。

你可以有负数吗？

@AaditMShah 不，不允许

@templatetypedef 确实有可能。请参阅下面的答案。

【参考方案1】：

Stephen Cole Kleene 设计了一种使用整数加法执行整数减法的方法。但是，它假定您不能有负整数。例如：

0 - 1 = 0
1 - 1 = 0
2 - 1 = 1
3 - 1 = 2
4 - 1 = 3
5 - 2 = 3
6 - 3 = 3
6 - 4 = 2
6 - 5 = 1
6 - 6 = 0
6 - 7 = 0

在您的问题中，您使用增量操作实现了加法操作。

同样，你可以使用减法操作来实现减法操作，如下所示：

sub(x, y) 
    loop y
         x = decr(x) 
    return x

现在，我们需要做的就是实现递减操作。

这就是 Kleene 的天才之处：

decr(x) 
    y = 0
    z = 0

    loop x 
        y = z
        z = incr(z)
    

    return y

在这里，我们使用了所有四个操作。它是这样工作的：

我们有两个基本情况，y（0 的基本情况）和z（1 的基本情况）：

y = 0 - 1 = 0
z = 1 - 1 = 0

因此，我们将它们都初始化为0。

当x 是0 时，我们运行循环0 次（即从不），然后我们简单地返回y = 0。

当x 是1 时，我们运行一次循环，分配y = z，然后简单地返回y = z = 0。

请注意，每次我们运行循环时，y 保存当前迭代的结果，而 z 保存下一次迭代的结果。这就是我们需要两个基本案例的原因。递减函数不是连续函数。这是一个piecewise 函数：

decr(0)     = 0
decr(n + 1) = n

Kleene 在去看牙医时意识到了这一点，牙医拔掉了他的两颗牙齿。他在试图解决这个问题时感到很沮丧，当牙医拔出他的两颗牙齿时，他意识到他需要两个基本病例。

【讨论】：

解释得很好！您能说一下如何仅使用给定的操作来检查两个变量的相等性吗？ - @Aadit M Shah

@koruj 这当然是可能的。如果您将其作为问题发布，那么我将为您提供答案。

@korujzade 我在这里回答了你的问题：***.com/questions/34829670/…