支配集是NP完全的证明

Posted 2023-05-08

【中文标题】支配集是NP完全的证明

【英文标题】：Proof that Dominating Set is NP-Complete

【发布时间】：2011-07-15 21:29:55

【问题描述】：

问题来了。我想知道是否有一个清晰有效的证明：

顶点覆盖：输入无向G，整数k > 0。是否有一个子集 顶点 S，|S|

支配集：输入无向G，整数k > 0。是否存在 顶点 S，|S|

一个顶点覆盖它的入射边并支配它的邻居和它自己。

假设VC是NPC，证明DS是NPC。

【问题讨论】：

这可能有助于en.wikipedia.org/wiki/…

NP-Complete 的支配集问题是最小尺寸支配集，而不仅仅是一个图是否有支配集。为了证明 NPC 是或否的问题，因此使用连通图中的所有顶点本质上是一个支配集。哪个不是 NPC。

【参考方案1】：

有一个非常好的和众所周知的减少：

给定一个顶点覆盖的实例 (G,k)，构建一个支配集 (H,k) 的实例，其中 H 取 G，删除所有孤立的顶点，并为每条边 (u,v) 添加一个额外的顶点 x 连接到 u 和 v。

首先认识到 G 的顶点覆盖是 H 的支配集：它是 G 的 DS（去除孤立的顶点之后），并且新的顶点也是支配的。所以如果 G 有一个更小的 VC，那么 H 有一个更小的 k。

反过来，考虑 D，H 的支配集。

请注意，如果新顶点之一在 D 中，我们可以用它的两个邻居中的一个替换它，仍然得到一个支配集：它的唯一邻居是两个原始顶点并且它们也是连接的 - 一切 x 可以可能的主宰也被u或v主宰。

所以我们可以假设 D 只包含来自 G 的顶点。现在对于 G 中的每条边 (u,v)，新顶点 x 都由 D 支配，因此 u 或 v 在 D 中。但这意味着 D 是G的顶点覆盖。

我们有它：当且仅当 H 有一个更小的支配集 k 时，G 有一个更小的顶点覆盖。

【讨论】：

为什么我们要为每条边添加一个新的顶点-x-？我的意思是，如果我们不添加这些顶点，是什么导致这个证明失败？

没有新的顶点就不能确定支配集 D 也是一个顶点覆盖。

【参考方案2】：

取自：

CMSC 651 高级算法，讲师 Samir Khuller

【参考方案3】：

我认为第二个问题不是 NP。 让我们试试下面的算法。

1. Get the original Graph
2. Run any algorithm which checks if a graph is connected or not.
3. mark all used edges of step 2
4. if the graph is connected then return the set of marked edges otherwise there is no such a set.

如果我理解正确你的问题，那么它不是 NP Complete。

【讨论】：

教科书CLRS，应该是NPC，:(

CLRS中的NPC是什么问题？

参见en.wikipedia.org/wiki/Connectivity_(graph_theory) 了解贪婪连接算法。

顶点覆盖是 CLRS 中的 NPC，第 34 章

@Luixv，经过深思熟虑，我想也许你是对的，因为我曾经解决过“使用贪婪算法找到最小尺寸支配集”的问题，感到困惑