高效的 Minkowski 和计算

Posted 2023-02-17

【中文标题】高效的 Minkowski 和计算

【英文标题】：Efficient Minkowski sum calculation

【发布时间】：2012-07-13 18:16:57

【问题描述】：

不知道有没有算法可以高效计算 离散的一维 Minkowski 和。闵可夫斯基和定义为：

S + T =  x + y | x in S, y in T 

我们是否可以将集合表示为列表，对 S 和 T 进行排序，然后 然后做一些类似于计算两个集合的并集的事情。即步行 沿着集合并行生成结果。

有没有这样的算法，我不需要额外排序 删除重叠案例 x1+y1 = x2+y2 的结果？最好用 Java 编写？

【问题讨论】：

如果有一种算法明显优于二次时间，我会感到非常惊讶。

我在我大学的 repos 中的一个文档中找到了这个。也许这会有所帮助：iwi138.iwinet.rug.nl/informatica/users/bekker/publications/…

@Lopina 这是一个死链接。 j4n bur53 为什么你没有接受答案，你还在等吗？

@gsamaras 在 user1071136 的回答中查看我的评论，我仍在等待改进的版本。但无论如何，请随意投票。我已经用完了所有的选票。

我已经对你和他投了赞成票@j4nbur53，很确定你不会得到改进的版本。 :)

【参考方案1】：

首先，输出的大小可以是O(nm)，如果没有冲突（例如，A=0, 1, 2, ..., n-1，B=n, 2*n, 3*n, ...n*n），那么如果我们依赖n和m，我们就没有希望了找到一个二次算法。 一个简单的方法是计算所有对（O(nm)）、排序和唯一性（O(nm log nm) 的总数。

如果您有一个上限M，使得x <= M 对应于A union B 中的所有x，我们可以通过以下方式计算O(M log M) 中的总和。

生成特征向量A[i] = 1 ff i \in A, 0 otherwise 和B 类似。每个这样的向量的大小为M。

使用 FFT 计算 A 和 B 的卷积（时间：O(M log M)）。输出大小为 O(M)。

扫描输出 O - 在每个单元格处，O[i] 非零，如果 i 是 Minkowski 和的一个元素。

证明：O[i] != 0 当且仅当存在k 使得A[k] != 0 和B[i-k] != 0，当且当k \in A 和i-k \in B，当且当k + i-k，即i，在闵可夫斯基和中。

（取自this paper）

【讨论】：

如果 0 =

【参考方案2】：

对 S 和 T 进行排序，遍历 S 并在 T 中搜索匹配的元素，每次找到匹配项时，从 S 和 T 中删除元素并将其放入新的集合 U 中。因为它们是排序的，一旦找到匹配项在 T 中，T 中的进一步比较可以从最后一个匹配开始。

现在 S、T 和 U 都是不相交的。所以迭代 S 和 T 并添加一个，以及 S 和 U，以及 T 和 U。最后迭代 U，并将 U 中的每个元素添加到 U 中的每个元素，其集合索引等于或大于当前集合索引。

遗憾的是，这种优化算法仍然是 O(n^2)。如果 T 和 S 相同，它将比简单解决方案快 2 倍。您也不必在输出集中搜索重复项。

【讨论】：

嗯，对。我的意思是添加。当我输入它时，我正在考虑集合乘法 - 将所有元素组合在一个集合中。

嗯，是的，也不是。我想这取决于添加元素的属性。如果有可能有多种方法可以获得相同的结果，那么它将不起作用 - 您仍然必须搜索输出集。如果只有一种方法可以获得任何结果，那么它会比迭代两组要快一些。你这里真的没有N。你有 N 和 M，T 和 S 的大小。所以它真的是 O( MN + log2N + log2M )。如果您在组合后进行搜索，那么它将是 O(MN + log2(M*N))

对数乘法，log(m*n) = log m + log n。所以没有区别。我希望可以通过在 S 和 T 上并行迭代来完成一些事情。例如，相应的联合算法是复杂度 O(n+m)。