0-1背包的贪心算法

Posted 2023-02-16

【中文标题】0-1背包的贪心算法

【英文标题】：Greedy algorithm for 0-1 Knapsack

【发布时间】：2013-03-12 17:04:17

【问题描述】：

是否有任何贪心算法可以为非分数（0-1 背包）背包问题提供最佳解决方案？我知道有一个分数版本的背包可以提供最佳解决方案。

【问题讨论】：

不存在（可能）不是。我说可能是因为有无数种方法可以贪婪地解决它（考虑到你可以通过任何可能的函数来订购 2 个参数（重量和成本））。我所知道的最好的贪婪 0-1 背包算法可以保证让你在最优值的 50% 以内。如果它们的权重或值都相同，则贪心会给出最优值。

@Dukeling：您能否提供一个链接或描述您提到的贪心算法（保证 50% 的最优性）？

我在the Stanford Coursera free online course 看到了 50% 最优贪心解法。 Here 的视频由同一位讲师呈现（参见 19. APPROXIMATION ALGORITHMS）。 Here 好像是同一篇文章。

@Dukeling：谢谢，帮了大忙！

由于 0/1 背包是 NP 难的，任何解决该问题的 多项式时间 贪心算法都将证明 P = NP。因此，任何贪心算法都必须在伪多项式或指数时间内运行。

【参考方案1】：

没有贪心算法适用于 0-1 背包，即使贪心算法适用于分数背包。

这是因为在 0-1 背包中，您要么带走 所有 物品，要么根本不带走该物品，不像在分数背包中，您可以只带一部分物品，如果你的包溢出来了。这很关键。

这是一个证明贪婪算法适用于 0-1 背包的示例。假设你有一个 6 号的包和这些物品：

商品   价值   尺寸   价值/尺寸 A      5.5      4       1.38 B     4        3       1.33 C     4        3       1.33

对于 0-1 背包，如果你试图贪婪，你总是会拿价值/尺寸最高的物品，即物品 A。拿了物品 A 后，你只有空间容纳尺寸为 2 或少，所以你将无法拿起其他任何东西。这意味着您的包里只有物品 A，总价值为 22。

另一方面，如果你没有贪心并拿走了最有价值的物品，而是拿走了物品 B，那么你也有足够的空间拿走物品 C。这将导致袋子中的总价值为 24，这比贪婪路线要好。