我可以在四元数中切换 X Y Z 吗？

Posted 2023-04-12

【中文标题】我可以在四元数中切换 X Y Z 吗？

【英文标题】：Can i switch X Y Z in a quaternion?

【发布时间】：2013-04-12 13:45:01

【问题描述】：

我有一个 Y 轴向上的坐标系。我需要将其转换为 Z 为 UP 的坐标系。我将旋转存储在四元数中，所以我的问题是：如果我有一个四元数 X、Y、Z，我可以用 Z 切换 Y 并得到 Z 实际上是 UP 的结果吗？

【参考方案1】：

只是在四元数中交换两个轴？不，这不起作用，因为这会翻转手性。然而，如果你翻转手性并否定四元数的实部，那么你就会回到原来的手性。一般来说，你可以这样写

Q'(Q, i'j'k') = ε_i'j'k' Q_w_w + Q_i _i + Q_j_j + Q_k_k

在哪里

是完全反对称张量，称为 Levi-Cevita 符号。

这不足为奇，因为四元数的 i²、j²、k² 规则也由相同的完全反对称张量定义。

【讨论】：

所以，这告诉我的是 new.w = old.w ;新的.x = -old.x;新的.y=-旧的.z；新的.z=新的.y； ?假设 NEW = Z UP, X RIGHT, Y 朝向屏幕，OLD = Y UP, X RIGHT, Z 朝向我？

这是否也适用于四元数的 W 值？

嗯，其实我得考虑一下。 W“包含”旋转角度，所以从技术上讲（如果我没记错的话）你应该否定 only W 并保持其他元素的符号不变。

@CaptainGouLash：坦率地说，到目前为止，我从未在实践中切换过四元数的手性。我绝对知道这是一个完全反对称的操作，你可以通过使用 Levi-Cevita 符号来做到这一点。

否定四元数的所有 4 个分量对旋转没有影响。如果您想通过否定事物来翻转手性，则需要采用共轭，它仅否定 i/j/k 部分（或者，等效地，仅否定实部......）。

【参考方案2】：

我正在修改this post 的答案，因为这里的答案较旧，可能更通用。

最好在将角度和轴转换为四元数的背景下考虑这一点。在Wikipedia 中，您可以阅读到您使用单位方向矢量 (x,y,z) 描述围绕轴的角度 θ 的旋转

q = cos(θ/2) + sin(θ/2)(xi + yj + zk)

您的帖子只告诉我们 Y ↦ Z，即旧的 Y 方向是新的 Z 方向。其他方向呢？你可能想保留 X ↦ X，但这仍然给我们留下了两个选择。

要么使用 Z ↦ Y。在这种情况下，您可以在左手坐标系和右手坐标系之间进行转换，并且转换本质上是一种反射。 或者您使用 Z ↦ -Y，那么它只是围绕 X 轴旋转 90°。坐标系的手性保持不变。

手性变化

首先考虑第一种情况。更改坐标系对您的角度和轴有什么影响？好吧，轴坐标与您的点经历相同的坐标交换，并且角度改变了它的符号。所以你有

cos(−θ/2) + sin(−θ/2)(xi + zj + yk)

与上述相比，实部没有变化（因为 cos(x)=cos(−x)）但是虚部改变了它们的符号，在除了顺序的变化。由此概括，在旧坐标系中描述旋转的四元数a + bi + cj + dk 将在新坐标系中转换为a − bi − dj − ck。或者进入−a + bi + dj + ck，这是对同一旋转的不同描述（因为它将 θ 改变了 360°，但 θ/2 改变了 180°）。

保留手性

与此相比，Z ↦ -Y 的第二种情况保持 θ 的符号，所以你只需要调整轴。新的Z坐标是旧的Y坐标，新的Y坐标是否定的旧Z坐标。所以a + bi + cj + dk 被转换为a + bi − dj + ck（或它的负数）。请注意，这只是四元数乘以i 或−i，具体取决于您将其相乘的一侧。如果你想把它写成共轭，你有 θ=±45° 所以你在四元数中得到平方根，表示坐标系的变化。

【参考方案3】：

尝试： 四元数旋转 = new Quaternion(X,Z,Y, -W); //由于

，我不得不交换 Z 和 Y

【参考方案4】：

不，您不能交换 y 和 z - 如果它是右手坐标系，它将变成左手坐标系（反之亦然）。

但是，您可以进行以下替换：

newX = oldZ
newY = oldX
newZ = oldY

我怀疑您真正想要的是围绕 x 轴的简单旋转。如果这就是您想要切换 y 和 z 的原因，那么您应该围绕 +x 轴应用 -90 度的旋转（假设您有右手坐标系）。

【讨论】：

好吧，如果根据 Levi-Cevita 张量缩放四元数，从技术上讲，您可以交换 Y 和 Z 或进行任何其他完全反对称的排列。

不知道置换张量。谢谢！