生成所有组合时的复杂性

Posted 2023-03-31

【中文标题】生成所有组合时的复杂性

【英文标题】：Complexity when generating all combinations

【发布时间】：2015-09-16 04:40:58

【问题描述】：

我从“这可以通过为数组元素生成所有可能的组合来解决”开始的面试问题通常是为了让我找到更好的东西。

无论如何，我想补充一句“我肯定更喜欢另一种解决方案，因为这是 O(X)”。问题是：为给定集合生成所有组合的 O(X) 复杂度是多少？

我知道有 n 个！ / (n-k)!k!组合（二项式系数），但如何从中获得大 O 表示法？

【问题讨论】：

您是否将k 称为常量？ O(k!) 是 O(1) 吗？如果是这样，复杂度是O(n^mink,n-k)。否则 - 不确定你是否简化了很多。

是的，给定 k 作为常数。

@amit 如果k 是一个常数，则复杂度将为O(n^k)，因为k < n-k 对于足够大的n 而言

如果我想提及它，我会说“生成所有组合需要指数级的时间，所以......”。请注意，作为面试官，我不想留下这样的印象，即您认为指数时间解决方案在任何情况下都是可以接受的。也许从“当然我们不想为此花费指数级的时间，所以......”开始。

【参考方案1】：

首先，将O(n! / (n-k)!k!) 或任何其他函数f(n) 用作O(f(n)) 并没有错，但我相信您正在寻找一种更简单的解决方案，并且仍然保持相同的集合。

如果您愿意将子集k 的大小视为常数，那么对于k <= n - k：

n! / ((n - k)! k!) = ((n - k + 1) (n - k + 2) (n - k + 3) ... n ) / k! 

但上面其实是(n ^ k + O(n ^ (k - 1))) / k!，也就是在O(n ^ k)中

同样，如果n - k < k，你会得到O(n ^ (n - k))

这给了我们O(n ^ mink, n - k)

【讨论】：

n^k 的上限在n! / ( (n-k)! * k! ) 之上留下了相当大的差距。恕我直言2 ^ n 是比n! / ( (n-k)! * k! ) 更小的上限。看看我的answer below

你能解释一下我是如何理解这一行的吗？ ``但上面实际上是 (n^k + O(n^(k-1))) / k!，也就是 O(n^k)'。你是如何得出这个结论的。

【参考方案2】：

我知道这是一个老问题，但它在谷歌上是热门话题，恕我直言，接受的答案标记错误。

C(n,k) = n Choose k = n! / ( (n-k)! * k!)

上面的函数表示可以由一组 n 元素组成的 k 元素集的数量。纯粹从逻辑推理的角度来看，C(n, k) 必须小于

∑ C(n,k) ∀ k ∊ (1..n)。

因为这个表达式代表power-set。在英文中，上述表达式表示：add C(n,k) for all k from 1 to n。我们知道这有2 ^ n 元素。

所以，C(n, k) 的上限为2 ^ n，对于任何n, k > 3, and k < n，它肯定小于n ^ k。

所以要回答你的问题，C(n, k) 的上限肯定是2 ^ n，但不知道是否有更严格的上限可以更好地描述它。

【参考方案3】：

作为@amit 的后续，mink, n - k 的上限是n / 2。

因此，“n 选择 k”复杂度的上限是 O(n ^ (n / 2))

【参考方案4】：

案例1：如果n-k

假设n=11，k=8，n-k=3

 n!/(n-k)!k! = 11!/(3!8!)= 11x10x9/3!
 let suppose it is (11x11x11)/6 = O(11^3) and 11 was equal to n so O(n^3) and also n-k=3 so it become O(n^(n-k))

案例2：如果k

假设n=11，k=3，n-k=8

 n!/(n-k)!k! = 11!/(8!3!)= 11x10x9/3!
 let suppose it is (11x11x11)/6 = O(11^3) and 11 was equal to n so O(n^3) and also k=3 so it become O(n^(k))

这给了我们 O(n^mink,n-k)