计算 n 的值 选择 k

Posted 2023-03-31

【中文标题】计算 n 的值 选择 k

【英文标题】：Calculate value of n choose k

【发布时间】：2013-02-24 11:07:01

【问题描述】：

评估 n 选择 k 的值的最有效方法是什么？ 我认为的蛮力方法是找到 n factorial / k factorial / (n-k) factorial 。

更好的策略可能是根据这个recursive formula使用dp。还有其他更好的方法来评估 n 选择 k 吗？

【问题讨论】：

阶乘计算在空间和时间方面都比您的递归替代方案更有效

好吧，对于初学者，您可以将 n!/k! 替换为 n*(n-1)*(n-2)*...*(k+1) 当许多因素抵消时，完全计算 n! 和 k! 毫无意义。

您考虑的 n 范围是多少？

@AndrewMorton 我必须计算 n 选择 k 其中 n

@M42：此问题与您链接的问题不重复。该问题要求 n 中 k 个元素的所有组合，而此问题只需要 number 个此类组合。

【参考方案1】：

这是我的版本，它纯粹以整数工作（除以 k 总是产生整数商）并且在 O(k) 时速度很快：

function choose(n, k)
    if k == 0 return 1
    return (n * choose(n - 1, k - 1)) / k

我递归地写了它，因为它是如此简单和漂亮，但如果你愿意，你可以将它转换为一个迭代解决方案。

【讨论】：

不是 O(k); k 严格小于 n，所以你不能忽略 n 对运行时的贡献。充其量，你可以说它是 O(k M(n))，其中 M(n) 是你的乘法算法的速度.

正确，但迂腐。上述函数进行 O(k) 乘法和除法。我忽略了操作本身的位复杂性。

这个函数计算n!/k!。这不是问题所在

@icepack：不，它没有。分子的范围从 n 到 n-k+1。分母的范围从 k 到 1。因此，choose(9,4) = (9*8*7*6) / (4*3*2*1) = 126，这是正确的。相比之下，9!/4! = 362880 / 24 = 15120。

这是递归形式的乘法。它确实是 O(k)，它是最快的，除非估计 k！使用斯特林的近似值就足够了（en.wikipedia.org/wiki/Stirling%27s_approximation）。有一个分而治之的阶乘版本，可能也有帮助 (gmplib.org/manual/Factorial-Algorithm.html)

【参考方案2】：

您可以为此使用乘法公式：

http://en.wikipedia.org/wiki/Binomial_coefficient#Multiplicative_formula

【讨论】：

当n-k

请注意(n - (k-i)) / i可能不是整数

@pomber 个人factor (n - (k-i)) / i 实际上可能不是整数，但来自x=1 upto y 的因子的乘积将始终被y 整除（因为正好有y 个连续整数）

公式略有更新：wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/…

【参考方案3】：

计算二项式系数(n choose k) 而不溢出的最简单方法可能是使用帕斯卡三角形。不需要分数或乘法。 (n choose k)。帕斯卡三角形的nth 行和kth 条目给出了值。

Take a look at this page。这是一个只有加法的O(n^2) 操作，您可以使用动态规划来解决。对于任何可以放入 64 位整数的数字来说，这将是闪电般的速度。

【讨论】：

和 O(n^2) 额外空间

@rici 正确，但这将是对所提出方法的优化

【参考方案4】：

如果您要计算许多这样的组合，计算帕斯卡三角无疑是最佳选择。正如你已经知道递归公式，我想我可以在这里传递一些代码：

MAX_N = 100
MAX_K = 100

C = [[1] + [0]*MAX_K for i in range(MAX_N+1)]

for i in range(1, MAX_N+1):
    for j in range(1, MAX_K+1):
        C[i][j] = C[i-1][j-1] + C[i-1][j];

print C[10][2]
print C[10][8]
print C[10][3]

【参考方案5】：

n!/k!(n-k)! 方法的问题与其说是成本问题，不如说是! 增长非常迅速的问题，因此即使nCk 的值在 64 位范围内也是如此整数，中间计算不是。如果您不喜欢 kainaw 的递归加法方法，您可以尝试乘法方法：

nCk == product(i=1..k) (n-(k-i))/i

其中product(i=1..k) 表示当i 取值1,2,...,k 时所有项的乘积。

【讨论】：

在最终答案不再适合机器字之前，您对溢出破坏事物的可能性是正确的，但我不喜欢您的解决方案：它会为某些因素产生小数值，例如当 n=4 和 k=3 时，i=2 因子。 （当然，这些因素最终会相乘得到一个整数，但你的方式意味着中间结果需要存储在浮点数中——哎呀！）

【参考方案6】：

最快的方法可能是使用公式，而不是帕斯卡三角形。当我们知道以后要除以相同的数字时，让我们开始不做乘法。 如果 k

n! / (k! x (n-k)!) = (product of numbers between (k+1) and n) / (n-k)!

至少使用这种技术，您永远不会除以以前用来相乘的数字。你有 (n-k) 个乘法和 (n-k) 个除法。

我正在考虑一种避免所有除法的方法，即在我们必须相乘的数字和我们必须除的数字之间找到 GCD。我稍后会尝试编辑。

【讨论】：

找到GCD肯定会减少操作量。不幸的是，GCD 的发现本身将是一项艰巨的任务。

是的，我很害怕。但是当乘法很大时，GCD 将在较小的数字上计算。实际上我不确定 GCD 是否比除法更难。

我倾向于持怀疑态度，但看看结果会很有趣:)

Division 和 GCD 对于 2 个大小为 n 的数字都有 O(n^2) 复杂度。在这里，我们将计算一个大数和一个小数的除法，而 GCD 将计算 2 个小数，但我们需要对所有数字进行除法。如果我必须手工做，我想我会尝试至少找到明显的倍数和 GCD，以避免做无用的除法。

如果你想要 C(n,k) 的素因数分解，你可以使用 Krummer 定理。 （您需要知道所有小于或等于 n 的素数。）planetmath.org/encyclopedia/KummersTheorem.html 这并不能完全避免除法，因为您需要能够为每个素数 p 表达 k 和 n-k 基 p。

【参考方案7】：

如果你有一个阶乘查找表，那么 C(n,k) 的计算将会非常快。

【讨论】：

对于大量的 n 和 k，查找表可能令人望而却步。该表之外的值也应该有一个选项。

@Pedrom 没有提到问题中数字大小的限制。它被标记为language-agnostic 和algorithms。

【参考方案8】：

“最有效”是一个糟糕的要求。你想提高什么效率？堆栈？记忆？速度？总的来说，我认为递归方法是最有效的，因为它只使用加法（一种廉价的操作），并且在大多数情况下递归不会太糟糕。功能是：

nchoosek(n, k)

    if(k==0) return 1;
    if(n==0) return 0;
    return nchoosek(n-1, k-1)+nchoosek(n-1,k);

【讨论】：

这是一个树递归，对于 n 和 k 的大值，它可能根本无法完成。

这是O(2^n) 时间和O(n) 空间。阶乘计算是O(n) 时间和O(1) 空间。

这绝对是指数级的。计算 nchoosek(n,k) 的复杂性至少是 nchoosek(n,k)，因为你的基本情况是 0 和 1。如果你对动态编程做同样的事情，你会得到一个 ^2 的复杂性，在这里你'多次重新计算相同的结果。

@AndrewMao 每次调用此函数都会在递归树中产生 2 个节点。递归在 n 步后停止（我假设 k 树中的 2^n 个节点，O(2^n) 运行时间。记忆化与这种方法是正交的，记忆化的好处与递归无关。

即使有记忆，这也是一个糟糕的方法。 C(10^12, 2) 需要一万亿次加法，但乘法公式是瞬时的。