在树的节点上构建等价类的好数据结构是啥？

Posted 2023-03-31

【中文标题】在树的节点上构建等价类的好数据结构是啥？

【英文标题】：What's a good data structure for building equivalence classes on nodes of a tree?在树的节点上构建等价类的好数据结构是什么？

【发布时间】：2009-03-23 19:17:20

【问题描述】：

我正在寻找一种好的数据结构来在树的节点上构建等价类。在理想的结构中，以下操作应该是快速的（O(1)/O(n)，视情况而定）并且容易（没有神秘代码段落）：

(A) 从树根出发；在每个节点上 --> 子转换枚举子节点的所有等效版本 (B) 合并两个等价类 (C) 从现有节点（子节点）和其他数据的列表中创建新节点 (D) 找到任何结构上与node 等价的节点（即它们具有相同数量的子节点，对应的子节点属于相同的等价类，并且它们的“其他数据”相同）使得新的（或新修改的）节点可以放在正确的等价类中（通过合并）

到目前为止我已经考虑过（其中一些可以组合使用）：

冻糕，其中子代是对节点集合的引用，而不是对节点的引用。 (A) 速度快，(B) 需要遍历树并更新节点以指向合并的集合，(C) 需要找到包含新节点的每个子节点的集合，(D) 需要遍历树 根据节点的特征维护节点的散列。这使得 (D) 更快但 (B) 更慢（因为当等价类合并时必须更新哈希） 将节点串在一起形成一个循环链表。 (A) 很快，(B) 会很快，但是事实上，将循环列表的一部分与自身“合并”实际上会拆分列表 (C) 会很快，(D) 需要遍历树 与上面类似，但在每个节点中都有一个额外的“向上”指针，可用于查找循环列表的规范成员。

我错过了一个甜蜜的选择吗？

【问题讨论】：

标签应该是算法，而不是算法。

【参考方案1】：

您似乎有两种形式的等价处理。普通等价 (A)，被跟踪为保持最新的等价类和结构等价 (D)，您偶尔会为此构建单个等价类，然后将其丢弃。

在我看来，如果您为普通和结构等价维护等价类，那么问题在概念上会更简单。如果这为结构等价引入了过多的流失，您可以为结构等价的某些方面维护等价类。然后，您可以找到一个平衡点，您可以负担这些等价类的维护费用，但在构建结构上等价的节点列表时仍然大大减少要检查的节点数量。

【讨论】：

“结构等价”更像是一个索引，以便于发现新的匹配项（例如，如果我知道 A:x = sqrt(z+a+7) 和 B:y = sqrt(z+b+7) 然后学习 C:a=b 它有助于发现我可以合并 A 和 B)。但是您的建议是有道理的（例如，通过***运算符对它们进行索引）。

【参考方案2】：

我认为任何一种结构都无法解决您的问题，但您可以看看Disjoint-set data structure。毕竟，等价类与集合的划分是一回事。它应该能够快速处理其中一些操作。

【讨论】：

链接中列出的解决方案基本上是我上面列出的解决方案的一个子集（除了树展平的小例外，我认为这是上指针案例的隐含部分）。你的回答是“不，你没有错过任何甜蜜的选择”吗？

【参考方案3】：

退一步说，我建议完全不要使用树。上次我不得不面对类似的问题时，我从一棵树开始，但后来又转向了一个数组。

原因很多，但首要的原因是性能，我的类有多达 100 个左右的孩子，实际上在将它们作为数组操作时比通过树的节点操作时性能更好，主要是因为硬件局部性和 CPU 预取逻辑和 CPU 流水线。

因此，尽管从算法上讲，数组结构需要比树更多的操作 N，但执行这几十个操作可能比在内存中追逐指针要快。

【讨论】：

是的，“树”最终可能会被存储为 TAC 数组或类似的数组。但就整体算法的本质而言，我认为局部性存在风险。