低效分治算法的复杂性

Posted 2023-03-27

【中文标题】低效分治算法的复杂性

【英文标题】：Complexity of inefficient divide and conquer algorithm

【发布时间】：2013-10-13 10:06:01

【问题描述】：

大小为n 的实例被划分为大小为n-a 的p≥2 实例，其中a 是一个小的integer，p 是一个constant。这个操作（即划分实例）的计算成本是一个单位，有C(0)=1.

我试图找出这种设计的复杂性。我无法将单词放入等式中，我认为递归应该是这样的：

C(n) = (n-a)*C(n/p) + 1

这对吗？

【问题讨论】：

不，不是。再读一遍这个问题，确定创建的子问题的数量和每个子问题的大小。目前，这些等式是错误的。

请记住，公式是：C(size) = (子问题的数量)*C(子问题的大小) + (划分成本)。你都知道，只要正确解释公式。我不会直接回答这个问题，我希望你这样做。

也知道，如果没有人回答，而您确实想通了，您就可以回答自己的问题。如果您这样做，请务必提供可靠的解释以及您的答案。

我不赞成这个问题，因为我相信 SO 不是家庭作业帮助的地方。它没有为 SO 存档添加任何有用的东西：没有人会搜索“低效的分而治之算法”，而且该示例非常简单和人为，对工作的程序员有任何帮助。当你没有像其他人那样学习时，它也会占用其他人的时间。 （我知道我们都有自己的特殊情况，有时非常困难，但这是我的看法。）

@SergeyOrshanskiy 这是应该避免分而治之算法的两种情况之一......作为程序员，我认为知道何时编写迭代或递归代码很重要。

【参考方案1】：

我想应该是这样的：

C(n) = (p)*C(n-a) + 1

我的理由是您在问题中说“p≥2 个实例，每个实例的大小为 n-a”。因此大小减少到C(n-a)，并且有 p 个子问题。所以我认为它类似于p*C(n-a)。你说对了另一个术语。如你所说，每一步划分的成本是C(0) = 1。

【讨论】：

hmmm...这也是我现在的想法，但这是否会是 n 中的指数级复杂性...继续尝试。

你确实在标题中提到了“低效”这个词。也许这就是这个问题的全部意义所在，以表明分而治之可以实现近乎指数的时间复杂度。

【参考方案2】：

好吧，因为这看起来像一个学校作业，特别是因为“效率低下的分治算法”的措辞，我也不会直接回答。

我的建议是以a=1 和p=2 为例。在这种情况下，您必须解决两个大小为n-1 的子问题，然后花费 1 个单位的时间来组合解决方案。如果你需要 1 个单位的时间来求解n=1，即C(1)=1，那么你得到

C(1)=1
C(2) = 2*C(1) + 1 = 3
C(3) = 2*C(2) + 1 = 7
C(4) = 2*C(3) + 1 = 15

等等。所以你得到C(n) =2^n - 1。如果 a 不是 1，这基本上是同一件事：你只需提升到权力 n/a 而不是 n。

顺便说一句，您将a 称为“小整数”，而将p 称为“常数”，这不是很奇怪吗？当然，这两个表达的意思是一样的。就渐近行为而言，所有常数都是“小”的。

【讨论】：

我同意措辞有点奇怪......我最终发现复杂性是 C(n) = p^(n/a) + [(p^(n/a) - 1) / (p - 1)] 这将是大 O(p^n) 指数。

【参考方案3】：

正如 Shashank 所写，C(n) = p⋅C(n-a) + 1 是正确的。

我只想提一下，这会导致

C(n) = Σ_i=0,...,n/a pⁱ = p^{n/a + 1} - 1

所以 C(n) 在 O(p^n/a) 中，它是 n 的指数。