有缺陷的棋盘问题——寻找伪代码算法（分治法）

Posted 2023-03-27

【中文标题】有缺陷的棋盘问题——寻找伪代码算法（分治法）

【英文标题】：Defective chessboard problem - looking for pseudocode algorithm (divide&conquer)

【发布时间】：2020-09-05 19:49:14

【问题描述】：

我应该使用分而治之的范式来设计一个递归算法“CBCover”，它确定了运行时 O(n^2) (n = 2^k) 中的覆盖率（如下图所示）。

CBCover的入口/输入应该是(k, a, b)，其中k定义了棋盘的大小，(a, b)是缺失字段的坐标。

可能的覆盖范围：

4x4 棋盘丢失 (4, 1)：

有人知道伪代码是什么样子的吗？

【问题讨论】：

欢迎来到 SO！所以你只能使用单个“L”三联牌来平铺？ This question 似乎有更完整的问题陈述。你有没有尝试解决这个问题，你能分享你的想法吗？谢谢。

【参考方案1】：

算法可以如下：

确定四个象限中的哪个象限缺少字段。将 L 形块放置在网格的中心，使其占据其他三​​个象限中的每个象限中的一个字段。现在您有四个象限，每个象限都有一个不能再使用的字段。应用相同的策略递归地求解每个象限。当当前网格没有可用字段时递归停止，即它是一个由不可用字段组成的 1x1 网格。

您可以使用不同的数据结构来描述镶嵌。一种方法是创建一个 2D 网格，其中每个单元格都获得一个唯一标识其所属形状的值。所以具有相同值的单元格属于一起。

上述算法可以从一个网格开始，它首先为每个单元格（0、1、2、...等）分配一个唯一的值，然后当它们必须属于同一单元格时，将值从一个单元格复制到另一个单元格形状。

这是一个简单的 javascript 实现。它是交互式的，因此您可以通过单击按钮更改输入，并将鼠标悬停在网格上，您可以识别“缺失字段”：

// Main algorithm:
function tile(k, a, b) 
    let length = 2**k;
    // Create a grid where each cell has a unique value
    let grid = [];
    for (let y = 0; y < length; y++) 
        let row = [];
        for (let x = 0; x < length; x++) 
             row.push(y*length + x); // unique value
        
        grid.push(row);
    
    a = a % length;
    b = b % length;
    
    function recur(length, a, b, top, left) 
        if (length == 1) return;
        let half = length / 2;
        let midrow = top + half;
        let midcol = left + half;
        let quadrant = (a >= midrow) * 2 + (b >= midcol);
        let val = -1;
        for (let i = 0; i < 4; i++) 
            let quadTop = i >= 2 ? midrow : top;
            let quadLeft = i % 2 ? midcol : left;
            let row, col;
            if (quadrant == i) 
                row = a;
                col = b;
             else 
                row = midrow - 1 + (i >> 1);
                col = midcol - 1 + (i % 2);
                // Add this cell to an L-shape
                if (val == -1) val = grid[row][col];
                else grid[row][col] = val; // join with neighboring cell
            
            recur(half, row, col, quadTop, quadLeft);
        
    
    
    recur(length, a, b, 0, 0);
    return grid;


// Parameters of the problem
let k, a, b;

// I/O handling:

function solve(newK, newA, newB) 
    if (newK <= 0) return; // grid must be at least 2x2
    k = newK;
    a = newA;
    b = newB;
    let grid = tile(k, a, b);
    display(grid);


let table = document.querySelector("table");

function display(grid) 
    table.innerhtml = "";
    for (let y = 0; y < grid.length; y++) 
        let tr = table.insertRow();
        for (let x = 0; x < grid.length; x++) 
            let val = grid[y][x];
            cls = "";
            if (y && val === grid[y-1][x]) cls += " up";
            if (grid[y+1] && val === grid[y+1][x]) cls += " down";
            if (val === grid[y][x-1]) cls += " left";
            if (val === grid[y][x+1]) cls += " right";
            if (cls === "") cls = "gap";
            tr.insertCell().className = cls.trim();
        
    


// Allow user to select gap with a click on a cell:
table.addEventListener("mousemove", (e) => 
    let td = e.target;
    if (td.tagName !== "TD") return;
    solve(k, td.parentNode.rowIndex, td.cellIndex);
);

// Allow user to change the size of the grid:
document.querySelector("#dbl").addEventListener("click", () => solve(k+1, a, b));
document.querySelector("#hlf").addEventListener("click", () => solve(k-1, a, b));

// Create, solve and display initial grid
solve(2, 0, 0);

table  border-collapse: collapse 
td  border: 1px solid; width: 10px; height: 10px 
.gap  background: silver 
.up  border-top-color: transparent 
.down  border-bottom-color: transparent 
.left  border-left-color: transparent 
.right  border-right-color: transparent 

<button id="dbl">Increase size</button><button id="hlf">Decrease size</button><br><br>
<table></table><br>