如何计算时间复杂度为 O(n log n) 的 XOR（二元）卷积

Posted 2023-03-27

【中文标题】如何计算时间复杂度为 O(n log n) 的 XOR（二元）卷积

【英文标题】：how to calculate XOR (dyadic) convolution with time complexity O(n log n)

【发布时间】：2019-05-04 15:06:09

【问题描述】：

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“⊕”是按位异或运算。

我认为可能使用 Karatsuba 的算法来解决问题，但是当我尝试在 Karatsuba 的算法中使用 XOR 而不是“+”时，很难得到子问题。

【问题讨论】：

Karatsuba 的算法不是O(n log n)。

【参考方案1】：

convolution theorem 给你

F(C) = F(A) . F(B)

其中F 是与傅立叶相关的变换，在本例中为 Hadamard 变换，. 是逐点乘法。使用fast Walsh–Hadamard transform，您可以在O(n log n) 操作中计算F(A)、F(B)，最后是C（使用逆运算）。逐点乘法就是O(n)。