将给定的一组数字 N 分成两组，以使它们的总和之差最小？

Posted 2023-03-12

【中文标题】将给定的一组数字 N 分成两组，以使它们的总和之差最小？

【英文标题】：Divide a given set of numbers N in two groups such that their difference of their sum is minimum?

【发布时间】：2015-04-07 11:09:23

【问题描述】：

您最多可以从集合中排除一个元素以实现目标。 示例：-

N=3

给出的数字是 = 1,2,5

所以，

第 1 组应该是：- [1]

第 2 组应该是：- [2]

我们排除了 5 个，因为我们可以在不属于任一组的情况下实现较小的差异。

N=4

数字 = 1,2,2,5

设置1 = [1,2,2]

设置2 = [5]

什么是最好的算法？ 我知道这是一个 NP 完全问题。 而且我认为蛮力会给我正确的解决方案，但如果可用的话，我需要一个算法。

【问题讨论】：

伪多项式时间适合你使用吗？

【参考方案1】：

我知道这是一个 NP 完全问题。

不完全是，partition optimisation problem 甚至被认为是 NP 难的。

而且我认为蛮力会给我正确的解决方案，但我需要一个算法（如果有的话）。

NP-hard 意味着没有已知算法（用于确定解决方案）比蛮力方法执行得更好。

因此，您可能需要approximation，但只有您自己知道哪个适合您的需求。

什么是最好的算法？

定义“最佳”。

【参考方案2】：

这是著名问题的变体，将整数集划分为两个子集，其和相等或尽可能接近相等。但是，您提出的问题更加困难 - 您还必须检查从原始集合中删除一个元素的所有组合。

由于原始问题是 NP 完全的，所以这个问题也是 NP 完全的（实际上，这是问题的优化版本，甚至是 NP-hard，正如 Bergi 的回答中正确提到的那样）。好消息是，即使在这个更难的版本中，贪婪的方法在大多数情况下都能给你一个满意的答案。策略如下：从原始集合中取出最大的元素并将它们放入第一个和第二个子集中，每个子集中一个。原始集合中的所有其他元素都放入总和较小的子集中，并反复重复该过程，直到您选择了所有元素。

为了获得最佳结果，您需要对原始集合的所有 N 个子集重复此过程，通过删除索引 1,2,...,N 处的元素来获取每个子集。这就是让这个问题变得更加困难的原因。

如果您对更高级的方法感兴趣，请查看Karmarkar-Karp differencing algorithm。

另请参阅：

The easiest hard problem