在 Python / NumPy 中计算矩阵的 Jordan 范式

Posted 2023-03-12

【中文标题】在 Python / NumPy 中计算矩阵的 Jordan 范式

【英文标题】：Compute Jordan normal form of matrix in Python / NumPy

【发布时间】：2013-12-17 05:05:09

【问题描述】：

在 MATLAB 中，您可以使用函数 jordan 计算矩阵的 Jordan 范式。

NumPy 和 SciPy 中是否有等效的功能？

【问题讨论】：

在 sage 中，您正在寻找 jordan_form，请参阅 here。不过，这不是 scipy/numpy。

只是一个评论：乔丹形式计算在浮点数上是不稳定的——你可以例如尝试计算 4x4 矩阵 in sympy jordan_form docs 的特征值。 LAPACK（以及因此 Scipy）将报告它有 4 个不同的特征值。然而，精确算术给出了 2 的 4 倍退化特征值。

【参考方案1】：

有this 实现。

不过，它肯定不会像 MATLAB 那样快。

【讨论】：

将矩阵转换为简化的行回声形式，可以使用 sympy.Matrix(...).rref() 更有效地完成但是，我正在寻找约旦范式：@ 987654322@

【参考方案2】：

MATLAB jordan function 来自 Symbolic Math Toolbox，因此从 SymPy 库中获取它的 Python 替代品似乎并非不合理。具体来说，Matrix 类具有方法jordan_form。创建 sympy 矩阵时，可以将 numpy 数组作为参数传递。例如，以下来自wikipedia article on the Jordan normal form：

In [1]: import numpy as np

In [2]: from sympy import Matrix

In [3]: a = np.array([[5, 4, 2, 1], [0, 1, -1, -1], [-1, -1, 3, 0], [1, 1, -1, 2]])

In [4]: m = Matrix(a)

In [5]: m
Out[5]: 
Matrix([
[ 5,  4,  2,  1],
[ 0,  1, -1, -1],
[-1, -1,  3,  0],
[ 1,  1, -1,  2]])

In [6]: P, J = m.jordan_form()

In [7]: J
Out[7]: 
Matrix([
[1, 0, 0, 0],
[0, 2, 0, 0],
[0, 0, 4, 1],
[0, 0, 0, 4]])

【讨论】：

只是一个评论：乔丹形式计算在浮点数上是不稳定的——你可以例如尝试计算 4x4 矩阵 in sympy jordan_form docs 的特征值。 LAPACK（因此 Scipy）将报告它有 4 个不同的特征值。然而，精确算术给出了 2 的 4 倍退化特征值。