如何计算累积正态分布？

Posted 2023-03-12

【中文标题】如何计算累积正态分布？

【英文标题】：How to calculate cumulative normal distribution?

【发布时间】：2010-10-23 00:02:34

【问题描述】：

我正在 Numpy 或 Scipy（或任何严格的 Python 库）中寻找一个函数，该函数将为我提供 Python 中的累积正态分布函数。

【参考方案1】：

这是一个例子：

>>> from scipy.stats import norm
>>> norm.cdf(1.96)
0.9750021048517795
>>> norm.cdf(-1.96)
0.024997895148220435

换句话说，大约 95% 的标准正态区间位于两个标准差之内，以标准均值 0 为中心。

如果您需要逆 CDF：

>>> norm.ppf(norm.cdf(1.96))
array(1.9599999999999991)

【讨论】：

另外，您可以指定均值 (loc) 和方差 (scale) 作为参数。例如，d = norm(loc=10.0, scale=2.0); d.cdf(12.0);详情在这里：docs.scipy.org/doc/scipy-0.14.0/reference/generated/…

@Irvan，比例参数实际上是标准差，而不是方差。

为什么 scipy 将它们命名为 loc 和 scale ？我使用了help(norm.ppf)，但是loc 和scale 到底是什么 - 需要帮助......

@javadba - 位置和规模是统计中更通用的术语，用于参数化各种分布。对于正态分布，它们与均值和标准差一致，但对于其他分布则不然。

@MichaelOhlrogge 。谢谢！这是 NIST 的一个页面，进一步解释 itl.nist.gov/div898/handbook/eda/section3/eda364.htm

【参考方案2】：

现在回答这个问题可能为时已晚，但由于谷歌仍然在此引导人们，我决定在这里写下我的解决方案。

即从Python 2.7开始，math库已经集成了错误函数math.erf(x)

erf() 函数可用于计算累积标准正态分布等传统统计函数：

from math import *
def phi(x):
    #'Cumulative distribution function for the standard normal distribution'
    return (1.0 + erf(x / sqrt(2.0))) / 2.0

参考：

https://docs.python.org/2/library/math.html

https://docs.python.org/3/library/math.html

How are the Error Function and Standard Normal distribution function related?

【讨论】：

这正是我想要的。如果我以外的其他人想知道如何使用它来计算“位于标准分布内的数据百分比”，那么：1 - (1 - phi(1)) * 2 = 0.6827 (“68% 的数据在 1 个标准内偏差")

对于一般的正态分布，应该是def phi(x, mu, sigma): return (1 + erf((x - mu) / sigma / sqrt(2))) / 2。

【参考方案3】：

从Python 3.8 开始，标准库提供NormalDist 对象作为statistics 模块的一部分。

它可用于获取给定的累积分布函数（cdf - 随机样本 X 小于或等于 x 的概率） 平均值 (mu) 和标准差 (sigma)：

from statistics import NormalDist

NormalDist(mu=0, sigma=1).cdf(1.96)
# 0.9750021048517796

这可以简化为标准正态分布（mu = 0 和sigma = 1）：

NormalDist().cdf(1.96)
# 0.9750021048517796

NormalDist().cdf(-1.96)
# 0.024997895148220428

【讨论】：

基于一些快速检查，这比 scipy.stats 中的 norm.cdf 快得多，并且比 erf 的 scipy 和数学实现快一点。

这是否矢量化？或者如果他们需要计算在数组中所有点评估的 CDF，是否应该使用 scipy 实现？

【参考方案4】：

改编自这里http://mail.python.org/pipermail/python-list/2000-June/039873.html

from math import *
def erfcc(x):
    """Complementary error function."""
    z = abs(x)
    t = 1. / (1. + 0.5*z)
    r = t * exp(-z*z-1.26551223+t*(1.00002368+t*(.37409196+
        t*(.09678418+t*(-.18628806+t*(.27886807+
        t*(-1.13520398+t*(1.48851587+t*(-.82215223+
        t*.17087277)))))))))
    if (x >= 0.):
        return r
    else:
        return 2. - r

def ncdf(x):
    return 1. - 0.5*erfcc(x/(2**0.5))

【讨论】：

由于std lib实现了math.erf()，所以不需要sep实现。

我找不到答案，这些数字是从哪里来的？

@TmSmth 如果我不得不猜测这看起来像是指数内部的某种近似值，所以你可能可以在稍微摆弄你的函数后用某种泰勒展开来计算它们（改变vars，然后说 r = t * exp( - z**2 -f(t)) 并对 f 进行泰勒展开（可以用数字找到

【参考方案5】：

以 Unknown 的示例为基础，在许多库中实现的函数 normdist() 的 Python 等效项是：

def normcdf(x, mu, sigma):
    t = x-mu;
    y = 0.5*erfcc(-t/(sigma*sqrt(2.0)));
    if y>1.0:
        y = 1.0;
    return y

def normpdf(x, mu, sigma):
    u = (x-mu)/abs(sigma)
    y = (1/(sqrt(2*pi)*abs(sigma)))*exp(-u*u/2)
    return y

def normdist(x, mu, sigma, f):
    if f:
        y = normcdf(x,mu,sigma)
    else:
        y = normpdf(x,mu,sigma)
    return y

【参考方案6】：

Alex 的回答向您展示了标准正态分布的解决方案（均值 = 0，标准差 = 1）。如果您有mean 和std（即sqr(var)）的正态分布并且您想计算：

from scipy.stats import norm

# cdf(x < val)
print norm.cdf(val, m, s)

# cdf(x > val)
print 1 - norm.cdf(val, m, s)

# cdf(v1 < x < v2)
print norm.cdf(v2, m, s) - norm.cdf(v1, m, s)

阅读更多关于cdf here 和正态分布的scipy 实现与许多公式here。

【参考方案7】：

从上面拍摄：

from scipy.stats import norm
>>> norm.cdf(1.96)
0.9750021048517795
>>> norm.cdf(-1.96)
0.024997895148220435

对于双尾测试：

Import numpy as np
z = 1.96
p_value = 2 * norm.cdf(-np.abs(z))
0.04999579029644087

【参考方案8】：

像这样简单：

import math
def my_cdf(x):
    return 0.5*(1+math.erf(x/math.sqrt(2)))

我在这个页面找到了公式https://www.danielsoper.com/statcalc/formulas.aspx?id=55