Haskell 中的列表是归纳的还是归纳的？

Posted 2023-03-11

【中文标题】Haskell 中的列表是归纳的还是归纳的？

【英文标题】：Are Lists Inductive or Coinductive in Haskell?

【发布时间】：2017-02-12 18:00:29

【问题描述】：

所以我最近一直在阅读关于共归纳的文章，现在我想知道：Haskell 列表是归纳的还是共归纳的？我也听说 Haskell 不区分这两者，但如果是，他们是如何正式区分的？

列表以归纳方式定义，data [a] = [] | a : [a]，但也可以以归纳方式使用，ones = a:ones。我们可以创建无限列表。然而，我们可以创建有限列表。那么它们是什么？

Related 在 Idris 中，其中类型 List a 是严格的归纳类型，因此只是有限列表。它的定义类似于它在 Haskell 中的定义。但是，Stream a 是一种互感类型，对无限列表进行建模。它被定义为（或者更确切地说，定义等同于）codata Stream a = a :: (Stream a)。创建无限列表或有限流是不可能的。但是，当我写定义时

codata HList : Type -> Type where
    Nil : HList a
    Cons : a -> HList a -> HList a

我从 Haskell 列表中得到了我期望的行为，即我可以创建有限和无限的结构。

所以让我把它们归结为几个核心问题：

Haskell 不区分归纳和互感类型吗？如果是这样，那它的形式化是什么？如果不是，那么哪个是[a]？

HList 是互感的吗？如果是这样，一个协约类型如何包含有限值？

如果我们定义 data HList' a = L (List a) | R (Stream a) 会怎样？与HList 相比，会考虑什么和/或它是否有用？

【问题讨论】：

Haskell 没有归纳或共归纳类型的概念。 （它实际上并不需要一个，因为它是一种部分且惰性的语言。）因此，询问给定的 Haskell 类型是归纳的还是协约的并没有真正的意义。

您的HList 类型通常称为共同列表。

【参考方案1】：

由于懒惰，Haskell 类型既是归纳的又是共归纳的，或者说，数据和余数据之间没有正式的区别。所有递归类型都可以包含无限嵌套的构造函数。在 Idris、Coq、Agda 等语言中，终止检查器会拒绝像 ones = 1 : ones 这样的定义。懒惰是指ones 可以一步计算为1 : ones，而其他语言只能计算为范式，而ones 没有范式。

'Coinductive' 并不意味着'必然无限'，它意味着'由它的解构方式定义'，而 Inductive 意味着'由它的构造方式定义'。我认为this 是对细微差别的一个很好的解释。你肯定会同意类型

codata A : Type where MkA : A

不能无限。

这是一个有趣的 - 与 HList 相反，你永远无法“知道”它是有限的还是无限的（具体来说，如果列表是有限的，你可以在有限的时间内发现，但你可以'不计算它是无限的），HList' 为您提供了一种简单的方法来确定您的列表是有限的还是无限的。

【讨论】：

你能解释一下 Haskell 是如何同时拥有这两种类型的吗？我很确定这不是真的。 Haskell 中的每种类型都是惰性的。所以 Haskell 不能 表示像自然数这样的归纳类型。这根本不可能。

@gardenhead 在我的理解中，并不是所有的 Haskell 类型都“既是归纳的又是共归纳的”，而更多的是 Haskell 没有既没有归纳也没有共归纳类型。您也不能表示像Stream 这样的协导类型。在我看来，这更多是偏心而不是懒惰的结果。

@gardenhead 请记住，几乎所有将 Haskell 作为逻辑系统的正式处理都依赖于假设，例如 undefined 没有发挥作用，seq 也没有发挥作用。我说[] 既是归纳列表又是协归纳列表，因为您可以在 Haskell 列表上编写与例如Agda 或 Coq 在归纳和共归纳列表上运行。

@gardenhead 如果你接受上述假设，你真的可以用data Nat = Z | S !Nat（注意严格性注释）来表示自然，其中inf = S inf的定义是not生成的，更具体地说，它相当于undefined。我想这同样适用于列表：data FiniteList = Nil | Cons a !(FiniteList a) - 这又使ones 之类的东西无法生成，你得到有限的列表或底部。

@gardenhead 你是在谈论一种真正的编程语言还是一种理论语义，它具有判断函数何时因任意输入而停止的神奇能力？

【参考方案2】：

在像 Coq 或 Agda 这样的总语言中，归纳类型是那些其值可以在有限时间内被拆除的类型。感应功能必须终止。另一方面，感应类型是那些值可以在有限时间内建立的类型。感应功能必须是高效的。

旨在用作证明助手的系统（如 Coq 和 Agda）必须是完整的，因为不终止会导致系统在逻辑上不一致。但是要求所有的函数都是全集的和归纳的，就不可能处理无限的结构，因此发明了共归纳法。

所以归纳和共归纳类型的目的是拒绝可能没有终止的程序。这是 Agda 中的一个示例，该示例由于生产力条件而被拒绝。 （您传递给filter 的函数可能会拒绝每个元素，因此您可能会永远等待结果流的下一个元素。）

filter : A : Set -> (A -> Bool) -> Stream A -> Stream A
filter f xs with f (head xs)
... | true = head xs :: filter f (tail xs)
... | false = filter f (tail xs)  -- unguarded recursion

现在，Haskell 没有归纳或共归纳类型的概念。问题“这种类型是归纳的还是共归纳的？”不是一个有意义的。 Haskell 如何在不区分的情况下逃脱？好吧，Haskell 从一开始就从未打算将其作为一种逻辑保持一致。它是一种部分语言，这意味着您可以编写非终止和非生产性函数 - 没有终止检查器和生产力检查器。人们可以争论这一设计决策的智慧，但它肯定会使归纳和共归纳变得多余。

相反，Haskell 程序员习惯于非正式地推理程序的终止/生产力。懒惰让我们可以处理无限的数据结构，但我们没有从机器那里得到任何帮助来确保我们的功能是完整的。

【讨论】：

在Agda中，是否可以定义类似于HList的结构？在那种情况下，是否仍然施加生产力限制（因为它是 codata），因此过滤器仍然无效？也就是引入 Nil 不影响其有效性？

没错。归纳列表仍然可以是无限的（尽管与流不同，它们可能不是），所以 filter 仍然会被拒绝，因为它不会对其所有输入都有效

【参考方案3】：

要解释类型级递归，需要为 CPO 值列表函子

F X = (1 + A_bot * X)_bot

如果我们进行归纳推理，我们希望不动点是“最小的”。如果是协推式，则为“最大”。

从技术上讲，这是通过在 CPO_bot 的嵌入投影子类别中工作来完成的，例如对于嵌入图的“最小”限制

0_bot |-> F 0_bot |-> F (F 0_bot) |-> ...

推广 Kleene 不动点定理。对于“最大”，我们将采用投影图的限制

0_bot <-| F 0_bot <-| F (F 0_bot) <-| ...

然而事实证明，对于任何F，“最小”与“最大”同构。这是“bilimit”定理（参见例如 Abramsky 的“Domain Theory”调查论文）。

也许令人惊讶的是，归纳或共归纳的味道来自F 应用的提升，而不是最小/最大固定点。例如，如果x 是粉碎的产品，# 是粉碎的总和，

F X = 1_bot # (A_bot x X)

将有限列表集作为双限制（直到 iso）。

[我希望我做对了——这些很棘手;-)]