什么是疯狂大整数除法的最快算法？

Posted 2023-02-16

【中文标题】什么是疯狂大整数除法的最快算法？

【英文标题】：What is the fastest algorithm for division of crazy large integers?

【发布时间】：2013-06-26 12:10:52

【问题描述】：

我需要将表示为字节数组中数字的数字与非标准字节数相除。它可能是 5 个字节或 1 GB 或更多。除法应该用表示为字节数组的数字来完成，而不需要任何数字转换。

【问题讨论】：

类似Java's BigInteger?

巴雷特归约计算的是模数，而不是商数。

对于像这样的一般性问题，您应该使用***并在您阅读***并尝试过之后来这里。

***没有回答最快的问题。我不需要应该运行几天的部门。

@Tyler: ...它通过首先计算商，然后减去除数的适当倍数来获得余数。

【参考方案1】：

对于真正的大整数，分而治之的除法比教科书方法快得多。

GMP 是一个最先进的大数字库。对于几乎所有的事情，它都有几种不同算法的实现，每种算法都针对特定的操作数大小进行了调整。

Here 是 GMP 的“除法算法”文档。算法描述有点简洁，但是当你想了解更多时，它们至少可以为你提供一些信息。

Brent and Zimmermann's Modern Computer Arithmetic 是一本关于大数运算理论和实现的好书。如果您想了解已知内容，可能值得一读。

【讨论】：

是的，但是...正如我所说，这些算法比算法 D 复杂得多。分治法的主要原因是你可以使用 Karatsuba 算法，让我告诉你你编写所有这些加上一个 Karatsuba 实现将是很多工作，我的意思是 LOTTA LOTTA 工作。我不知道 OP 的程序员有多优秀，但即使是非常优秀的程序员也可以花费 MONTHS 使用分而治之的方式编写正确的实现。

@TylerDurden：嗯，他问的是“疯狂的大数”。 Karatsuba 本身还不错，因为您不会遇到二次方问题。当您开始想要实现 Toom-Cook 和各种基于 FFT 的方法，然后找出交叉点时，它开始变成大量工作。这就是你使用 GMP 的原因:)

@TylerDurden：一旦你有一个快速的乘法黑盒，分而治之的除法就不会太糟糕了。取分子和分母的高半部分，递归除法，然后做一点清理。同样，调整和找到教科书和分而治之之间的交叉点是一项相当多的工作。

【参考方案2】：

标准的长除法算法，类似于小学长除法，是Knuth 4.3.1中描述的算法D。 Knuth 在他书中的那一部分对除法进行了广泛的讨论。这样做的结果是，有比算法 D 更快的方法，但它们并没有快很多，而且比算法 D 复杂得多。

如果您确定要获得尽可能快的算法，则可以求助于所谓的 SRT 算法。

***Division Algorithm上的方式涵盖了所有这些以及更多内容。

【讨论】：

在***链接上列出的算法中，您可能会发现 long 除法 是最有用的。不过要注意符号。 D(0) 表示数字中最不重要的值，而左移表示数字以大端方式存储（这意味着 LSD 应位于 D(n-1) ）。