理解扩展欧几里得算法的实现

Posted 2023-02-16

【中文标题】理解扩展欧几里得算法的实现

【英文标题】：Understanding implementation of Extended Euclidean algorithm

【发布时间】：2021-12-13 16:51:10

【问题描述】：

经过一些实验和搜索，我想出了以下定义：

emcd' :: Integer -> Integer -> (Integer,Integer,Integer)
emcd' a 0 = (a, 1, 0)
emcd' a b = 
  let (g, t, s) = emcd' b r
  in (g, s, t - (q * s))
    where
      (q, r) = divMod a b

t - (q * s) 这个表达式背后的含义是什么？

我尝试过手动评估它；即使我得到了正确的结果(1, -4, 15)，我也看不出为什么该表达式会返回t 的值。

as + bt = gcd(a, b)中有一个著名的计算s和t的方法。在寻找 gcd 的过程中，我得到了几个方程。

通过反转欧几里得算法中的步骤，可以找到这些整数a 和b。这些结果方程看起来像表达式t - (q * s)；但是，我无法弄清楚确切的过程。

【参考方案1】：

由于(q, r) = divMod a b，我们有等式

a = qb + r

由于递归调用，我们有：

tb + sr = g

用a-qb 代替第二个等式中的r，这意味着

tb + s(a-qb) = g
tb + sa - qsb = g
sa + (t-qs)b = g

这解释了为什么 s 和 t - q*s 是返回的好选择。

【讨论】：

非常感谢您的回答。你能解释一下这条线吗？ "由于递归调用，我们有：tb + sr = g"

@F.Zer 这正是您在问题中所说的属性...“在as + bt = gcd(a, b) 中计算s 和t”