仅使用 32 位整数的算术运算

Posted 2023-03-05

【中文标题】仅使用 32 位整数的算术运算

【英文标题】：Arithmetic Operations using only 32 bit integers

【发布时间】：2015-03-07 00:58:11

【问题描述】：

在只能乘以 32 位数的微处理器上，您将如何计算两个 1024 位数的乘法？

【问题讨论】：

您有特定的语言吗？如果您使用的是 Java，请查看 java.math 包中的 BigInteger 类。如果没有，请为您正在使用的内容查找类似的库。

示例代码：sites.google.com/site/indy256/algo_cpp/bigint

不，我对它背后的数学感兴趣，不一定是实现细节。

然后阅读 Karatsuba 算法：en.wikipedia.org/wiki/Karatsuba_algorithm。或者只是从你在小学教过的算法中概括出来，用代表 10 个可能数字的“单词”进行长乘法:-)

像手动一样乘法。算法基本相同...使用base 2^32。

【参考方案1】：

首先要意识到您已经知道如何做到这一点：在小学时，您被教导如何对一位数进行算术运算，然后给出数据结构来表示更大的数字（例如小数）和计算算法算术运算（例如长除法）。

如果您有办法将两个 32 位数字相乘得到 64 位结果（请注意，unsigned long long 保证至少为 64 位），那么您可以使用这些相同的算法在基数中进行算术运算2^32。

您还需要，例如，带有进位的加法运算。您可以通过检测溢出来确定两个相同类型的无符号数相加时的进位，例如如下：

uint32_t x, y; // set to some value
uint32_t sum = x + y;
uint32_t carry = (sum < x);

（从技术上讲，这种操作要求您执行无符号算术：有符号算术中的溢出是未定义的行为，优化器会对您的代码做出您最意想不到的事情）

（现代处理器通常提供将两个 64 位数字相乘得到 128 位结果的方法，但要访问它，您必须使用 128 位类型之类的编译器扩展，或者您必须内联编写汇编代码。现代处理器也有专门的 add-with-carry 指令）

现在，高效地进行算术是一项巨大的工程；我发现浏览文档和源代码到gmp，GNU 多精度算术库非常有启发性。

【参考方案2】：

查看 bigint 操作的任何实现

这是我在 C++ 中为fast bignum square 使用的一些方法 有些仅用于 sqr，但有些可用于乘法...

使用 32 位算术作为 64/128/256/...位算术的模块

见我的32bit ALU in x86 C++ 使用带数字基数的长乘法2^32 这种方式也可以使用 Karatsuba