具有一定密度的点的最大子集

Posted 2023-02-16

【中文标题】具有一定密度的点的最大子集

【英文标题】：Maximum subset of points with certain density

【发布时间】：2016-08-14 19:11:08

【问题描述】：

假设二维平面中有一组点 S，如何从 S 中删除最小数量的点，使得任何两个剩余点之间的距离不小于一个常数，比如 R。

我想这可能是 NP 难的。谁能提出一个快速的近似解决方案？谢谢！

【问题讨论】：

如果只有2个点并且距离小于R，那会是0分吗？

@Striker 删除 1 分。你现在只剩下一个点，它没有比 R 更近的点了。

@Striker 我想是的。左边应该有空集

@KlasLindbäck 说得通

@GilbertLee 澄清一下，您是在问如何做到这一点吗？或者这个算法的复杂度是多少？

【参考方案1】：

我的朋友提出了一个合理的解决方案：

构造一个所有边都小于R的图G。要移除的点集与图G的最小顶点覆盖相同。顶点覆盖的近似是多项式时间。

【讨论】：

是的，这是我自己写的。该近似值是 2 近似值，还不错，但 Vertex Cover 也是在解决方案大小中易于处理的固定参数，因此它可以在相当大的实例上精确求解，前提是只需要删除少量顶点.

@j_random_hacker 你们都是天才

【参考方案2】：

这个速度很快但不是最低点数。请记住，在删除或禁用点时，循环应处理对设置 S 的更改。

 For each Point P1 in S
 
       For each Point P2 after P1 in S 
       
             If (square(P1.x - P2.x) + square(P1.y - P2.y) < square(R) )
             
                   remove (P2)
             
       
 

最低但昂贵：

use double loop to store each P2 closest to P1
example: array [P1][P2]

 Sort array based on size of array [P1].numOfElements ()
 such that largest is at the top

 now remove top element P from set S 
 and in  array P1
 and all subsequent P in P2 of all P1

  If P2 is empty for any element X in P1 then remove it

  Remove the next top element and do the process again until array is empty

  Resulting set is the answer for minimum points