中位数算法的中位数解释

Posted 2023-02-16

【中文标题】中位数算法的中位数解释

【英文标题】：Explanation of the Median of Medians algorithm

【发布时间】：2012-09-14 18:39:22

【问题描述】：

Median of medians 方法在quicksort 类型的分区算法中非常流行，以产生相当好的枢轴，这样它就可以均匀地对数组进行分区。其逻辑在***中给出为：

所选的枢轴小于和大于中位数列表中元素的一半，每半数大约是 n/10 个元素 (1/2 * (n/5))。这些元素中的每一个都是 5 的中位数，使其小于块外的 2 个其他元素和大于 2 个其他元素。因此，主元小于块外的 3(n/10) 个元素，大于块外的另外 3(n/10) 个元素。因此，选择的中位数将元素拆分为 30%/70% 和 70%/30% 之间的某个位置，这确保了算法在最坏情况下的线性行为。

谁能给我解释清楚一点。我发现很难理解其中的逻辑。

【参考方案1】：

想想以下一组数字：

5 2 6 3 1

这些数字的中位数是3。现在如果你有一个数字n，如果n > 3，那么它至少比上面的数字大一半。如果n < 3，则至少小于上述数字的一半。

这就是想法。也就是说，对于每组 5 个数字，你得到他们的中位数。现在你有n / 5 号码。这很明显。

现在，如果您得到这些数字的中位数（称为m），它会大于其中一半，小于另一半（根据中位数的定义！）。换句话说，m 大于 n / 10 数字（它们本身是 5 个小元素组的中位数）并且大于另一个 n / 10 数字（同样是 5 个小元素组的中位数）。

在上面的例子中，我们看到如果中位数是k 而你有m > k，那么m 也大于其他两个数字（它们本身小于k）。这意味着对于m 大于其中值的那些较小的 5 个元素组中的每一个，m 也大于其他两个数字。这使得在每个n / 10 小的 5 个元素组中至少有 3 个数字（2 个数字 + 中位数本身），它们小于 m。因此，m 至少大于 3n/10 数字。

元素个数m大于类似的逻辑。

【讨论】：

再问一个问题，这个方法怎么保证这个数字是中位数呢？中位数是将数组划分为上半部分和下半部分的数字。那么这个 30-30-70 的数字意味着什么？

嗯，中位数在中间，但是m（在上面的文字中）并不是所有数字的中位数。它只是 1/5 数字的中位数（它们本身就是较小的 5 个元素组的中位数）。试着用更多的注意力阅读最后一段。最后，得出的结论是m 至少大于数字中的3n/10，也就是说m 大于至少30% 的数字。所以最后，它就像m 至少大于 30% 并且小于至少另外 30%。还有 40% 我们不确定。

那么它为什么平均给出 50-50 个分区？ 50-50分区是由正常中位数给出的，对吧？

它平均不给50-50分区。它总是在30-70 和70-30 之间给出某个值（也许你可以平均称之为50-50？），但这不是重点。为了让快速排序给O(nlogn) 时间复杂度，它需要能够将数组划分为与数组大小成比例的分区。这就是logn 递归深度的原因。 30-70 除法已经给出了与n 成比例的3n/10 和7n/10 除法。所以即使它不是一个完美的50-50，它仍然会产生对数递归深度（除了它不是基数为2的log，而是基数10/7）